高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国3卷）（解析版）

这是一份高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国3卷）（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国3卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集,,,则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,故A不正确；,故B正确；,故C不正确；,故D不正确.故选B2.把函数的图象向左平移个单位长度,再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得函数图象的解析式为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】把函数的图象向左平移个单位长度,得到,再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得函数图象的解析式为.故选B3．如图是一个正方体的表面展开图,则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（    ）A．2 B．1 C．高 D．考【答案】C【解析】将展开图还原成正方体可知,“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”,故选C.4．甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是：甲0102203124乙2211121101,分别表示甲乙两组数据的平均数,,分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是（    ）．A．, B．,C．, D．,【答案】B【解析】由表格数据知：,,∴,,,∴,故选B5．过点P(-1,1)作圆C：的两条切线,切点分别为点A、B,则四边形ACBP的面积为（    ）A． B．6 C． D．3【答案】B【解析】因为圆C：,所以圆C的标准方程为,则圆心,半径,四边形ACBP的面积可以看作与的面积的和,且与全等,所以四边形ACBP的面积故选B.6．已知,且,则函数与的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】若,函数的图象下降,即为减函数,且过,的图象下降,即为减函数,且 ,以上图象C符合；若,函数的图象上升,即为增函数,且过, 的图象上升,即为增函数,以上图象都不符合.故选C7．下列选项叙述错误的是（    ）A．命题“若,则”的逆否命题是“若,则”B．若命题,则命题是或C．若为真命题,则p,q均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A：命题“若,则”的逆否命题是“若,则”,故A正确,所以A不符合题意；对于B：若命题,即且,则命题是或,故B正确,所以B不符合题意；对于C：若为真命题,则p,q有一个为真命题或两个都为真命题,故C错误,所以C符合题意；对于D：因为,所以或,所以”是“”的充分不必要条件,故D正确,所以D不符合题意.故选C8．的展开式中的系数为（    ）A． B． C．10 D．20【答案】C【解析】可得的展开式的通项为,令,即可得出的系数为.故选C.9．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年,雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：（为自然对数的底数）．当,时,记,,,则,,的大小关系为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知,,,当时,,即函数在区间上单调递增,,,,即,故选C10．已知双曲线：（,）的上、下顶点分别为,,点在双曲线上（异于顶点）,直线,的斜率乘积为,则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点,又,,则 ,所以,又因为点在双曲线上得,所以,故,所以 ,则双曲线的渐近线方程为.故选B11．在中,,边上的高为1,则面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设BC边上的高为AD,则AD=1,,如图所示：所以,所以,所以,设,因为,则,所以==,因为,所以,所以,则,所以,所以面积的最小值为.故选B12．已知抛物线C方程为,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为抛物线C方程为,所以其焦点为,所以可设直线l的方程为：,,（斜率不存在的直线显然不符合题意）,联立抛物线方程可得,,所以,又,所以抛物线在A处的切线方程为：,即,令,可得点的坐标为,同理可得,点的坐标为,所以,当且仅当时取等号,即的取值范围为．故选B．二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 设复数满足（为虚数单位）,则复数________．【答案】【解析】,因此,.14.已知向量,满足,则_________.【答案】-5【解析】,,即,,即,,,.15．一个口袋中装有6个小球,其中红球4个,白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球,则在第1次摸出红球的条件下,第2次摸出红球的概率为________.【答案】【解析】.16．在棱长为的正方体中,是的中点,是上的动点,则三棱锥外接球表面积的最小值为_______.【答案】【解析】如下图所示,设圆柱的底面半径为,母线长为,圆柱的外接球半径为,取圆柱的轴截面,则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于,则为圆柱的外接球球心,由勾股定理可得. 本题中,平面,设的外接圆为圆,可将三棱锥内接于圆柱,如下图所示：设的外接圆直径为,,该三棱锥的外接球直径为,则.如下图所示：设,则,,,,当且仅当时,取得最大值,由,可得,,所以,的最大值为,由正弦定理得,即的最小值为,因此,,所以,三棱锥外接球的表面积为.故三棱锥外接球的表面积的最小值为.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知等差数列的前n项和为,且满足.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,求数列的前项和.解:设公差为,依题意得(2分)解得 所以.(6分),(8分).(12分)18.(12分) 如图,该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成,其中正方形的边长为,是线段上（不含端点）的动点,．（1）若为的中点,证明：平面；（2）若,求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点,连接,．因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成,所以截面是平行四边形,(1分)则．因为,所以,且,所以四边形是平行四边形,所以．(3分)因为平面,平面,所以平面．(5分)（2）解：如图,以为原点,分别以,,的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,,,．(7分)设平面的法向量为,则,令,得．(9分)因为,所以直线与平面所成角的正弦值为．(12分)19.(12分) 2020年国庆节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况,在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点,它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示,其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作,10:00~10:20记作,10:20~10:40记作,例如：10点04分,记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车随机抽取4辆,设抽到的4辆车中,在9:20~10:00之间通过的车辆数为X,求X的分布列；（3）根据大数据分析,车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布,其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替,用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点,估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.附：若随机变量T服从正态分布,则,,.解：（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：,即10∶04. (2分)（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知,抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20,60这一区间内的车辆数,即,(4分)所以X的可能的取值为0,1,2,3,4. (5分)所以,,,,.所以X的分布列为：X01234P(8分)（3）由（1）得,所以,(10分)估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46,100通过的车辆数,由,得,所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为.(12分)20.(12分) 已知圆,点P为圆C上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,设D为PQ的中点,且D的轨迹为曲线E(PQD三点可重合).（1）求曲线E的方程；（2）不过原点的直线l与曲线E交于M､N两点,已知OM,直线l,ON的斜率､k､成等比数列,记以OM,ON为直径的圆的面积分别为S1,S2,试探究是否为定值,若是,求出此值；若不是,说明理由.解：（1）设,则有,又在已知不上,∴,所以曲线的方程为；(4分)（2）设直线方程为,,,由得,,∴,,(6分),,∵､k､成等比数列,∴,∴,,又,∴,,解得．(8分),,,,,∴为定值．(12分)21.(12分) 已知函数.（1）若在处取到极值,求的值及函数的单调区间；（2）若,求的取值范围.解：（1）,在处取到极值,,解得,(2分)此时,,单调递增,可得时,,单调递减,时,,单调递增,在处取到极小值,符合题意,综上,,的单调递减区间为,单调递增区间为；(5分)（2）,,(6分)在单调递增,当时,,时,,存在,,当时,,单调递减,当时,,单调递增,,(9分)令,则,单调递减,且,,,令,,,单调递减,,当时,,的取值范围为.(12分) (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分) 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,直线的参数方程为（为参数）．（1）设与的夹角为,求；（2）设与轴的交点为,与轴的交点为,以为圆心,为半径作圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程．解：（1）设直线和的倾斜角分别为和,由参数方程知,,所以,和均为钝角,且,则；(5分)（2）令,解得,所以,,所以,令,解得,所以,,所以,,所以圆的直角坐标方程为,即,所以圆的极坐标方程为．(10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数．（1）当时,求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立,求实数a的取值范围．解：（1）由题意,当时,函数当时,,解得,即；当时,,解得,即；当时,,解得,即不存在x,综上所述,不等式的解集为.(5分)（2）不等式,可得因为,所以不等式可化为对恒成立,即对恒成立,即,解得,故实数a的取值范围是．(10分)