高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（三）（全国3卷）（解析版）

这是一份高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（三）（全国3卷）（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（三）（全国3卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．复数满足：,其中为虚数单位,则的共轭复数在复平面对应的点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由,得,所以,所以其在复平面对应的点为,故选A2．若全集,,,则集合等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为全集,,,所以,,所以,故选C3．若圆的方程为,则圆心坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆的方程,可化为,即,所以圆心坐标为．故选D.4．由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合图,下列说法不正确的是（    ）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】C【解析】由图象可得,5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加,故A正确；设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓,故B正确；设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C错误；2025年开始信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势,故D正确.故选C5．设,为非零向量,则“”是“与共线”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时,,化简得,即,,即与共线当与共线时,则存在唯一实数,使得,,与不一定相等,即不一定相等故“”是“与共线”的充分不必要条件,故选A6．若将函数的图像向右平移个单位长度,平移后图像的一条对称轴为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】将函数的图像向右平移个单位长度,所得的函数为,由,得,当时,,故选B7．已知等比数列的公比为q,首项为a,前n项和为,（    ）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则【答案】B【解析】因为为等比数列,故,若,则,故,故C错误,A正确,B正确,若,则,故,若,则,故,若,则,故,若,则,其中,取,则当为偶数,则即；当为奇数,则即,故AD错误.故选B.8．埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜,它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857,因为142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,...,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142+857=999,428+571=999,285+714=999,...,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数,剩下的三个数字构成另一个三位数,若,则所有可能的有序实数组的个数为（    ）A．48 B．60 C．96 D．120【答案】A【解析】∵这六个数中,,,,共3组,要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数,剩下的三个数字构成另一个三位数,且,则从每组数字中抽取一个构成,所以共有种情况,的每个数字对应的同组数字按顺序构成对应的,故所有可能的有序实数组的个数也为48.故选A9．已知双曲线：（,）的离心率为3,双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为,则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵,∴,设双曲线的焦点,其中 双曲线：的渐近线方程为：,即 ,所以焦点到渐近线的距离为,所以,,故双曲线的方程为,故选C.10．如图,在矩形中,,,沿将矩形折叠,连接,所得三棱锥正视图和俯视图如图,则三棱锥中长为（    ）A． B． C． D．2【答案】C【解析】根据三棱锥正视图和俯视图,还原后得到三棱锥的直观图如图示,由图可知：平面ABD⊥平面CBD,过A作AM⊥BD于点M,连结MC,则AM⊥平面CBD,∴△MCA为直角三角形.过C作CN⊥BD于点N,在直角三角形ABD中,AB=1,AD=,∴所以∠ABD=60°,∠ADB=30°,则在直角三角形ABM中,AB=1,∠ABM=60°,∴.同理,在直角三角形CBD中,.∴MN=BD-BM-DN=,∴在直角三角形AMC中,,故选C11．已知数列是首项为,公差为1的等差数列,数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知,对都有成立,即,即又数列是首项为,公差为1的等差数列且数列是单调递增数列,当时,,所以,,即,解得.即实数的取值范围是故选D12．已知定义域为的函数的图象关于对称,当时,,若方程有四个不等实根,,,时,都有成立,则实数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函数的图象,如图,作直线,它与图象的四个交点的横坐标依次为,,,,因为函数的图象关于对称,所以,,即,且,显然,不等式变形为,,,所以,由勾形函数性质知在时是增函数,所以,令,则,,,当时,,单调递减,所以,所以,即的最小值是．故选A．二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 在一组样本数据为,,…,不全相等的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的相关系数_______．【答案】【解析】因为,所以这两个变量成负相关,故这组样本数据的相关系数为负值,又所有样本点都在直线上,则,所以．14．在平面直角坐标系中,直线过抛物线的焦点,且与该抛物线相交于两点.若直线的倾斜角为,则△的面积为____.【答案】【解析】过抛物线的焦点,直线的方程：,即,代入抛物线的方程并整理得：,解得,这就是A,B两点的纵坐标.的面积为.15．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线,则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】由题意得的定义域为,且,设切点坐标为,则过原点的切线斜率,整理得存在两条过原点的切线,存在两个不同的解.设,则问题等价于于存在两个不同的交点,又当时,,单调递增,当 时,,单调递减,.又当时,；当时,,若于存在两个不同的交点,则.解得.16．在棱长为的正方体中,是的中点,是上的动点,则三棱锥外接球表面积的最小值为_______.【答案】【解析】如下图所示,设圆柱的底面半径为,母线长为,圆柱的外接球半径为,取圆柱的轴截面,则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于,则为圆柱的外接球球心,由勾股定理可得. 本题中,平面,设的外接圆为圆,可将三棱锥内接于圆柱,如下图所示：设的外接圆直径为,,该三棱锥的外接球直径为,则.如下图所示：设,则,,,,当且仅当时,取得最大值,由,可得,,所以,的最大值为,由正弦定理得,即的最小值为,因此,,所以,三棱锥外接球的表面积为.故三棱锥外接球的表面积的最小值为.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.（1）求角A的大小；（2）若,且,求的面积.解：（1）因为,所以,所以,所以,所以,所以,因为,所以,所以,又因为,所以.(6分)（2）因为,,,所以,即,因为,所以,所以.(12分)18.(12分) 为了解某市2021届高三学生备考情况,教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试,第一次质量检测考试（一检）结束后,教研所分析数据,将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图,分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图,已知参加考试的理科生有12000人.
 （1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线,请问一检考试的模拟二本线应该是多少；（2）若甲同学每次质量检测考试,物理、化学、生物及格的概率分别为,,,请问甲同学参加三次质量检测考试,物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数分布列及期望.解:（1）分以上的频率为：,要达到60%的二本率,所以,之间频率为：因为的频率总和为所以模拟二本线应在之间,设为则解得：；(6分)（2）至少2科及格的概率,,,1,2,30123.(12分)19.(12分) 如图,在四棱锥中,,,,为的中点,.（1）求证：；（2）若,,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.解：（1）取AC中点M,连接FM,DM,分别为AB,AC中点,,,四边形DEFM是平行四边形,,,平面ACD,,平面CDM,平面CDM,；(6分)（2）,,两两垂直,以M为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,设,则,设平面BDE的法向量为,则,令,则,,,设与平面所成角为,则,当且仅当时,等号成立,故直线与平面所成角的正弦值的最大值为 (12分)20.(12分) 设函数,（1）求函数的单调区间；（2）设对于任意,且,都有恒成立,求实数的取值范围．解：（1）易知的定义域为R,,当时,在上单调递增,当时,在上单调递减．的单调递减区间是,单调递增区间是．(5分)（2）当,时,恒成立,即恒成立,设,由题意可知,在上单调递减,即在上恒成立；,设,则在上单调递减,,即.(12分)21.(12分) 已知椭圆：的离心率为,且过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知,是椭圆上的两点,且直线,的斜率之积为,点为线段的中点,连接并延长交椭圆于点,求证：为定值.解：（1）因为椭圆的离心率为,且过点,所以,又,解得,所以椭圆的方程为；(4分)（2）设,因为点为线段的中点,所以,因为B,M,N三点共线,所以,所以,(6分)又因为A,B点在椭圆上,所以,又因为直线,的斜率之积为,所以,(8分)因为点N在椭圆上,所以,即,所以,解得,所以,则,所以为定值. (12分) (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分) 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.（1）写出的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为,射线分别交,于A,B两点(异于极点),当时,求.解：（1）∵(为参数)∴曲线的普通方程为,即∵,,∴∴曲线的极坐标方程为 (5分)（2）依题意设,,∴由得.由得.∵,∴∴∵是圆的直径,∴.∴在直角中,∴在直角中,∴,即∴. (10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数．（1）求的解集；（2）若有2个不同的实数根,求实数k的取值范围．解：（1）, 或 或,解得：或  的解集是或 (5分)（2）问题转化为与有两个交点,由图易知：,,即．(10分)