高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国1卷）（解析版）

这是一份高中数学高考2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国1卷）（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国1卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集,集合,,则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,,,,.故选B.2．在1和2两数之间插入个数,使它们与1,2组成一个等差数列,则当时,该数列的所有项和为（    ）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【解析】设在1和2两数之间插入个数,使它们与1,2组成一个等差数列,可得,所以数列的所有项和为.故选D.3．展开式中x的系数为80,则a等于（    ）A． B．3 C． D．2【答案】C【解析】二项式的通项公式为,由,得,所以由题意得,,解得,故选C4．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子,杯子口径6cm,高8cm(不含杯脚),已知水的高度是4cm,现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠,该珍珠放入水中后直接沉入杯底,且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出,则最多可以放入珍珠（    ）A．98颗 B．106颗 C．120颗 D．126颗【答案】D【解析】作出圆锥的轴截面图如图,由题意,,,,设,则,即.则最大放入珍珠的体积,因为一颗珍珠的体积是.由.所以最多可以放入珍珠126颗.故选D.5．若实数,满足,则下列不等式中成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】A. 当时,,故错误；B. 当时,,故错误；C. 当时,,故错误；D. 因为,所以,所以,所以,即,故正确；故选D6．年的“金九银十”变成“铜九铁十”,全国各地房价“跳水”严重,但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间,当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码分别对应年月年月）根据散点图选择和两个模型进行拟合,经过数据处理得到的两个回归方程分别为和,并得到以下一些统计量的值： 注：是样本数据中的平均数,是样本数据中的平均数,则下列说法不一定成立的是（    ）A．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系B．根据可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米C．曲线与的图形经过点D．回归曲线的拟合效果好于的拟合效果【答案】C【解析】对于A,散点从左下到右上分布,所以当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系,故A正确；对于B,令,由,所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米,故B正确；对于C,非线性回归曲线不一定经过,故C错误；对于D,越大,拟合效果越好,故D正确.故选C.7．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】,函数是奇函数,故排除AB,当时,,,所以,故排除D.故选C8．若不等式组，确定的平面区域记为，若与有公共点，则的最大值为（    ）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，设目标函数，可化为直线，当直线过点A时，此时直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，要使得与有公共点，即实数的最大值为.故选D.9．某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成,则该几何体与其外接球的表面积分别为（    ） A． B． C． D．【答案】C【解析】由三视图的几何体如图所示,可知几何体的表面积为,设该几何体外接球的半径为,则,所以该几何体外接球的表面积为.故选C.10．已知双曲线：(,)的左､右焦点分别为,,且以为直径的圆与双曲线的右支交于,直线与的左支交于,若,则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图,连接.因为以为直径的圆与双曲线的右支交于,故.设,则,,,,由为直角三角形,故,解析,故,,因为为直角三角形,故,故.故选D.11．函数的最大值为（    ）A． B． C． D．3【答案】B【解析】因为所以令则则令,得或当时,；时所以当时,取得最大值,此时所以,故选B12．单调递增的数列中共有项,且对任意,和中至少有一个是中的项,则的最大值为（    ）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】假设是中大于0的最大的4项,对于来说,因为,所以和都不是中的项,又由题意得和中至少有一个是中的项,所以是中的项,且,所以,对于来说,因为,所以和都不是中的项,又由题意得和中至少有一个是中的项,所以是中的项,且,所以,所以,矛盾,所以中大于0的最多有3项,同理,中小于0的最多有3项,加上0,故的最大值为7,此时存在数列满足题意.故选C.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 已知向量满足,则实数__________.【答案】或【解析】可得平行且同向,因为,所以,解得或,经检验,或均合题意,故或.14．如果复数满足,那么________(为虚数单位).【答案】【解析】∵,∴,∴.15．已知、为椭圆：的左、右焦点,为椭圆上一点,且内切圆的周长等于,若满足条件的点恰好有两个,则_______【答案】【解析】由题意得内切圆的半径,设,因此的面积为,设,则,∵满足条件的点恰好有两个,∴为椭圆短轴端点,即,∴,而,∴,∴.16．已知是奇函数,定义域为,当时,（）,当函数有3个零点时,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】当时,易知函数单调递减,且时,,时,,其大致图象如下,在的大致图象如下,又函数是定义在上的奇函数,故函数的图象如下,要使函数有3个零点,只需函数的图象与直线有且仅有3个交点,由图象可知,．故答案为：．三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.（1）若为钝角,求的取值范围；（2）若,,求的面积.解：（1）由正弦定理可得,,(2分)∵,,∴,∵为钝角,∴,,,∴,∴,∴的取值范围是；(6分)（2）由（1）可知,,所以,由余弦定理可知,,即,∵,∴C为锐角,解得,(8分)所以,,(10分)从而的面积为.(12分)18.(12分) 在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点．（1）求证：BE⊥DC；（2）求直线PC与平面PDB所成角的正弦值．（1）证明：依题意,以点为原点建立空间直角坐标系如图：可得,(2分),故,所以.(5分)（2）, 设为平面的一个法向量,则 即,不妨令,可得．(9分)设直线PC与平面PDB所成角为 于是有,所以直线与平面所成角的正弦值为.(12分)19.(12分) “花开疫散,山河无恙,心怀感恩,学子归来,行而不缀,未来可期”,为感谢全国人民对武汉的支持,今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募名和名志愿者参与网络云直播.将这名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在及其以上定义为“高个子”,否则定义为“非高个子”,且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取人,则从这人中选人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；（3）若从所有“高个子”中选名志愿者,用表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数,试写出的分布列,并求的数学期望.解：（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：,其升高的中位数为：；(3分)（2）由茎叶图可知,“高个子”有人,“非高个子”有人,∴按照分层抽样抽取的人中“高个子”为人,“非高个子”为人,则从这人中选人,至少有人为高个子的概率；(7分)（3）由题可知：文学院的高个子只有人,则的可能取值为、、、,故,,,,即的分布列为：所以.(12分)20.(12分) 已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.（1）求抛物线C的方程；（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点,且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点,求的取值范围.解：（1）已知到焦点的距离为10,则点到准线的距离为10.∵抛物线的准线为,∴,解得,∴抛物线的方程为.(4分)（2）由已知可判断直线的斜率存在,设斜率为,因为,则：.设,,由消去得,,∴,.(7分)由于抛物线也是函数的图象,且,则：.令,解得,∴,从而.同理可得,,(10分)∴ .∵,∴的取值范围为.(12分)21.(12分) 已知函数.（）（1）令,讨论的单调性并求极值；（2）令,若有两个零点；（i）求a的取值范围；（ii）若方程有两个实根,,且,证明：解：（1）因为所以,则,x2负0正单调递减极小值单调递增所以单调递减区间为,单调递增区间为极小值为,无极大值. (4分)（2）（i）有两个零点.因为①当时,,单调递增,不可能有两个零点；②当时,令,得,单调递减；令,得,单调递增.所以要使有两个零点,即使,得,又因为,,所以在存在唯一一个零点,且,,所以在上存在唯一一个零点,符合题意.综上,当时,函数有两个零点. (8分)法二：有两个零点.等价于时,有两个实根,（1）令,当时,,单调递减,且；当时,,单调递减；当时,,单调递增；,,,,.要使（1）有两个实数根,即使,综上,当时,函数有两个零点. (8分)（ii）有两个实根,令,有两个零点,,,所以,所以（1）（2）要证,只需证,即证,所以只需证.由（1）（2）可得,只需证.设,令,则,所以只需证,即证令,,则,,即当时,成立.所以,即,即.(12分)(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,,曲线的参数方程为(的参数).（1）将曲线的极坐标方程､的参数方程化为普通方程.（2）设,的交点为,求圆心在极轴上,且经过极点和的圆的极坐标方程.解：（1）,, ,即：由可得 ,消去参数,可得即普通方程为.(5分)（2）由,即,设所求圆圆心的直角坐标为 ,其中a >0.则,解得 ,所求圆的半径,所求圆的直角坐标方程为: .即,所求圆的极坐标方程为 . (10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)设函数,.（1）若,求不等式的解集；（2）若函数恰有三个零点,求实数的取值范围.解：（1）若,不等式即,则或或,解得或或,故原不等式的解集为；(10分)（2）由,得,设,,在平面直角坐标系中做出的大致图像,如图所示,结合图像分析,可知当,即时,、的图像有三个不同的交点,故函数恰有三个零点时,实数的取值范围是. (10分)