高中数学高考2021年高考数学（理）12月模拟评估卷（一）（全国1卷）（解析版）(1)

这是一份高中数学高考2021年高考数学（理）12月模拟评估卷（一）（全国1卷）（解析版）(1)，共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学（理）12月模拟评估卷（一）（全国1卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若,则在复平面内,复数所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】,则复数对应的点的坐标为,位于第四象限．故选D．2．设集合,,则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】或,所以,,所以,故选D.3．已知直线a与平面,能使的充分条件是（    ）①      ②      ③      ④A．①② B．②③ C．①④ D．②④【答案】D【解析】对①,若,垂直于同一个平面的两个平面可以相交,故①错误；对②,若,则,平面的平行具有传递性,故②正确；对③,若,平行于同一直线的两平面可以相交,故③错误；对④,,垂直于同一直线的两平面平行,故④正确.综上,②④正确,故选D.4．已知抛物线的焦点为,是抛物线的准线上的一点,且的纵坐标为正数,是直线与抛物线的一个交点,若,则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】过点作于,因为,由抛物线的定义得,所以在中,,所以,所以直线的斜率为,所以直线的方程为,即,故选B.5．如图所示是某年第一季度五省情况图,则下列说法中不正确的是（    ）
 A．该年第一季度增速由高到低排位第3的是山东省B．该年第一季度浙江省的总量最低C．该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位次的省份有2个D．与去年同期相比,该年第一季度的总量实现了增长【答案】B【解析】由折线图可知A、D项均正确,该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四,共2个,故C项正确：今年浙江省的增长率最低.故B项不正确.故选B.6．直线与函数的图象相切于点,则（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由已知,且.因为,所以,即,所以,所以,即,两边同时取自然对数得,整理的,故选B.7．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为(    )A．1 B．－1 C．8l D．－81【答案】B【解析】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得,令,故可得,又因为,令,则,解得令,.故选B.8．某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,则该港口该天水最深的时刻不可能为（    ）A．16时 B．17时 C．18时 D．19时【答案】D【解析】由题意可知,时,,由五点法作图可知：如果当时,函数取得最小值可得：,可得,此时函数,函数的周期,该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,满足,如果当时,函数取得最小值可得：,可得,此时函数,函数的周期为：,时,,如图：该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,不满足,故选D．9．二十世纪第三次科技革命的重要标志之一是计算机发明与应用，其核心是使用二进制，即用最基本的字符“0”和“1”可以进行无穷尽的各种复杂计算，而且用电子方式实现，即二进制是一个微小的开关用“开”来表示1，“关”来表示0．某编程员将一个二进制数字串进制数字串，，，，，进行编码，其中称为第位码元，但在实际编程中偶尔会发生码元出错（即码元由0变成1，或者由1变为0），如果出现错误后还可以将码元，，，，进行校验修正，其校验修正规则为：，其中运算定义为：，，，，即满足运算规则为正确，否则错．现程序员给出1101101一组码元，然后输入计算机中，结果仅发现第位码元错误，则的值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】∵，显然这几个码元中，显然这几个码元中必有一个错误，于是确定，，这3位码元都是正确的；又，进而，，，，均正确；再由，∵，，码元都正确，故只有错误，于是，故选C．10．在中，内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，，因为，所以，所以，化简得，因为，所以，解得，因为，所以，因为，所以由余弦定理得，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，故选B．11．设直线系,,对于下列四个命题：（1）中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点不在中的任意一条直线上；（3）对于任意整数,,存在正边形,其所有边均在中的直线上；（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（    ）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）    （4） D．（1）（2）【答案】A【解析】因为点到直线系中每条直线的距离,直线系表示圆的切线集合.（1）由于直线系表示圆的所有切线,其中存在两条切线平行,所有中所有直线均经过一个定点不可能,故（1）不正确；（2）存在定点不在中的任意一条直线上,观察知点符合条件,故（2）正确；（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于任意整数,存在正变形,其所有边均在的直线上,故（3）正确；（4）如下图,中的直线所能围成的正三角形有两类,一类如,一类是,显然这两类三角形的面积不相等,故（4）不正确. 故选A. 12．已知定义在上的函数满足,且当时,,函数,实数,满足.若,,使得成立,则的最大值为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】当时,,令可得.∵,∴的周期为2,所以在[－1,5]的图象所示：结合题意,当,时,取得最大值.最大值为1.故选B.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13．若满足,则的最小值为____________.【答案】【详解】如图令,可得目标函数的一条等值线,则将移至点处,目标函数取最小值,所以最优解为点,则.14．若等边的边长为1,平面内一点M满足,则______________.【答案】【解析】由已知,,,∴,故答案为．15．过双曲线的右支上一点,分别向圆：和圆：()作切线,切点分别为、,若的最小值为,则________.【答案】【解析】由得,,则、是双曲线的左、右焦点,也是题中圆的圆心,∴,当在轴上时,最小为,则最小值为,解得. 16．在平行四边形中,,,且,以为折痕,将折起,使点到达点处,且满足,则三棱锥的外接球的表面积为__________.【答案】【解析】在中,,,且,由余弦定理,得,即：,解得：,在四面体中,,,,三组对棱长相等,可将四面体放在长方体中,设长方体的相邻三棱长分别为,,,设外接球半径为,则,,,则,即,所以.所以,四面体外接球的表面积为：.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分)已知数列是首项为的等差数列,数列是公比为的等比数列,且数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）若,当时,,求数列的通项．解：（1）设数列的公差为,则,,则,求得,．而,即,解得．,所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为(6分)（2）当时,,故,可得,,故．(12分)18．(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,∠BAB1=∠BB1A,AB1∩A1B=O,CO⊥平面ABB1A1,D是线段A1C1上靠近A1的三等分点.（1）求证：AB⊥AA1；（2）求直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值.解：（1）因为∠BAB1=∠BB1A,故AB=BB1,所以四边形A1ABB1为菱形,而CO⊥平面ABB1A1,故∠COA=∠COB=90°.因为CO=CO,CA=CB,故,故AO=BO,即四边形ABB1A1为正方形,故AB⊥AA1. (5分)（2）依题意,CO⊥OA,CO⊥OA1.在正方形A1ABB1中,OA1⊥OA,故以O为原点,OA1,OA,OC所在直线分别为x､y､z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz；不妨设AB=2,则O(0,0,0),,,,,又因为,所以.所以,.设平面A1ACC1的法向量为,则即令x=1,则y=1,z=1.于是.又因为,设直线OD与平面A1ACC1所成角为θ,则,所以直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值为.(12分)19．(12分)某种子公司培育了一个豌豆的新品种,新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加,培育人员在一块田地(超过1亩)种植新品种,采摘后去掉残次品,将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封.现从中随机抽取5袋,测量豌豆豆荚的长度(单位：),将测量结果按,,,,分为5组,整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数(不含残次品,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度服从正态分布,其中的近似值为豌豆豆荚长度的平均数,,试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中,长度位于区间内的豆荚个数；（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过的豆荚称为特等豆荚,以频率作为概率,随机打开一袋新品种豌豆豆荚,记其中特等豆荚的个数为,求的概率和的数学期望.附：,若随机变量,则,.解：（1）由频率分布直方图可得.解得.(1分)估计新品种豌豆豆荚长度的平均数.(3分)（2）由（1）知新品种豌豆豆荚长度的平均数约为1.11,则,又,所以,,,.所以.所以100袋豌豆豆荚中,长度位于区间内的豆荚个数为(个) (7分)（3）在新品种豌豆豆荚中随机抽取一个,豆长度超过的频率为,所以随机打开一袋新品种豌豆豆荚,再从中随机抽取一个豆荚,这个豆荚为特等豆荚的概率.依题意,的所有可能取值为0,1,2,3,……,20,且所以；的数学期望.(12分)20．(12分)如图,点为椭圆：的左焦点,点,分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在椭圆上,且满足.（1）求椭圆的方程；（2）过定点且与轴不重合的直线交椭圆于,两点,直线分别交直线,于点,,求证：以为直径的圆经过轴上的两定点（用表示）.解：（1）由在椭圆：上得①,如图,由为的右顶点,为的上顶点可知,,因,所以,则②.联立①②得方程组解得故所求椭圆的方程为.(4分)（2）设,,又,所以直线的方程为,令,得,所以.同理.设是以为直径的圆上的任意一点,则,所以,令,得.设直线的方程为,与椭圆的方程联立,消去得,所以,,所以.所以,因为,所以.所以以为直径的圆经过轴上两定点,其坐标分别为和.(12分)21．(12分)已知函数,且曲线在处的切线斜率为.（1）求实数的值；（2）证明：当时,；（3）若数列满足,且,证明：.解：（1）,因为曲线在处的切线斜率为,所以,得.（2）证明：将代入得,若,则只需证明：在上恒成立即可.令,则,令,则在恒成立,所以在上递增,又,即在上恒成立,所以在上单调递增；又,所以在上恒成立,即在上恒成立.（3）证明：由（2）可知,当时,,因为,所以,设,则,所以.要证：,只需证,因为,所以,又,所以,则；故只需证：,即证.令,只需证当时,,则,令,则则在上单调递增,又,所以在上恒成立,即在上递增,又,所以在上恒成立,所以在上递增,又,所以当时,所以原不等式成立.(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数,）,以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线的交点为,.（1）若,求；（2）设点,求的最小值.解：（1）由曲线的极坐标方程得,化为直角坐标方程为,即.将直线的参数方程代入其中,得.当时,上述方程即,解得,,所以.(5分)（2）由根与系数的关系可知：,,所以,其中,当时取等号,所以的最小值为.(10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分) 已知函数.（1）在坐标系中画出函数的图像,并写出的值域；（2）若恒成立,求a的取值范围.解：（1）,其图像如图所示：由图像可得的值域为.(5分)（2）在同一坐标系中画出满足题意的,的图像,当过点时,或,由图像可知：,,即实数的取值范围为.(5分)