高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（二）（全国1卷）（解析版）(1)

这是一份高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（二）（全国1卷）（解析版）(1)，共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）（全国1卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，故选．2．在复平面内,复数对应的点是,则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得,则.故选A.3.设等差数列的前项和为，若，则（    ）A．60 B．120 C．160 D．240【答案】B【解析】由题可知，，由等差数列的性质可知，则，故.故选B.4．设,则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】,,,所以,故选D.5．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件，由几何概型中的面积型可得：，故选B．6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为,则经过一定时间后的温度T将满足,其中是环境温度,h称为半衰期.现有一杯85℃的热茶,放置在25℃的房间中,如果热茶降温到55℃,需要10分钟,则欲降温到45℃,大约需要多少分钟？（    ）（1g2≈0.3010,1g3≈0.4771）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】根据题意有：,,故选C.7．函数的图象大致为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数,定义域为,,且,是奇函数,其图象关于原点对称,排除、,因为函数的定义域为,,令,,排除,故选．8．已知向量满足,,,则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】,,,.,因此,.故选D.9．执行如图所示的程序框图,若输出的为30,则判断框内填入的条件不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】执行程序框图：,2是偶数,,3不是偶数,,不符合空白判断框条件,执行否,,7不是偶数,,不符合空白判断框条件,执行否,,不是偶数,,满足条件,结束循环,故空白判断框应满足的条件为时不符合要求,时符合要求,所以A、B、D三项均满足循环.故选C.10．已知是椭圆上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，设是中点，则,,因为，所以,所以，因为，所以.由椭圆的定义得所以.故选A.11．已知点在函数（且,）的图象上,直线是函数的图象的一条对称轴．若在区间内单调,则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得,,得,得,又因为在区间内单调,所以,得,得．所以．又因为,所以或3．当时,,得,又,所以,此时直线的函数的图象的一条对称轴,且在区间内单调．所以．当时,,得,又,所以,此时,所以直线不是函数的图象的一条对称轴．所以,．故选B．12．已知正三棱锥的外接球是球O,正三棱锥底边,侧棱,点E在线段上,且,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图,由题,设的中心为,球的半径为,连接,则,,在中,,解得,所以,因为,所以,在中,,所以,过点作球的截面,当截面与垂直时,截面的面积最小,此时截面的半径为,则截面面积为,当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为,故选D.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13.曲线在点处的切线的方程为__________.【答案】【解析】，∴切线斜率为，切线方程为．14．等比数列的各项均为正数,且,,则=_________.【答案】.【解析】设等比数列的公比为q(q>0),由得,解得,所以.15.我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值为__________．【答案】2.9【解析】由题意：，解得，因为前6组的频率之和为，前5组的频率之和为，所以．所以，解得，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．16．已知双曲线：的左右焦点分别为,,过的直线与圆相切于点,且直线与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】如图,由题可知,,则,又,,,又,作,可得,,则在,,即,又,化简可得,同除以,得,.                                                                                                                                         三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值；附：参考公式：相关系数，，.参考数据：，，解：（1）由题意得，，，，，因而相关系数.由于很接近1，说明x，y线性相关性很强，(5分)因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于，故其关系为负相关. (6分)（2）由（1）知，，∴，则所求的回归方程是.(10分)当特征量x为12时，可预测特征量.(12分)18.(12分) 在中,角,,的对边分别为,,．已知．（1）求；（2）若为边上一点,且,,求．解：（1）因为,所以,所以,即．因为,所以,所以,则．(4分)因为,所以．(6分)（2）因为,所以,即,因为,所以,所以．(8分)由余弦定理得,则,整理得,即,故．(10分)因为,所以,所以.(12分)19．(12分) 如图所示，四棱柱中，底面为菱形，底面，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积.解：（1）证明：连接，设与的交点为，连接，∵为的中点，为的中点，∴，,则，底面，则平面，(3分)又∵平面，∴平面平面；(5分)（2）解：连接、、，设交于点，,底面为菱形，底面，可知四边形为正方形，且，则，由点到平面的距离为,即为点到平面的距离. (8分)∴平面，∴，又∵，∴平面，∴，∴菱形为正方形，∴点到平面的距离为，∴.(12分)20．(12分) 已知抛物线的焦点为,过点的直线分别交抛物线于两点．（1）若以为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程；（2）过点分别作抛物线的切线,证明：的交点在定直线上．解：（1）设中点为,到准线的距离为,到准线的距离为,到准线的距离为,则且.(2分)由抛物线的定义可知,,所以,由梯形中位线可得,所以,可得,所以抛物线的标准方程为.(5分)（2）证明：设,由,得,则,所以直线的方程为,直线的方程为,联立得,解得,即直线的交点坐标为.(9分)因为过焦点,由题可知直线的斜率存在,故可设直线方程为,代入抛物线中,得,所以,故,所以的交点在定直线上．(12分)21．(12分) 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）在平面直角坐标系中,直线与曲线交于,两点,设点的横坐标为,的面积为.求证：；（ii）当取得最小值时,求的值.解：（1）函数的定义域为,.,令,则.因为；,所以在上为减函数,在上为增函数.当时,,即,当时,,即.所以当时,,所以在区间和上都是增函数.因此的增区间为和,没有减区间. (14分)（2）（i）证明：,设(其中),由题意,得的面积,即.由,得,由及,得,所以,故成立. (8分)（ii）由（1）,得为增函数,于是最小最小最小.令,则,再令,则,所以当时,单调递增.又,,所以存在唯一的,使得,即.当时,,即；当时,,即,所以是的极小值点,也的最小值点,所以当时,取得最小值,等价于最小,此时,所以.(12分) (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）.以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线与直线有且仅有一个公共点.（1）求；（2）设曲线上的两点,且,求的最大值．解：（1）直线的普通方程是,曲线的直角坐标方程是,(2分)依题意直线与圆相切,则,解得或,因为,所以；(5分)（2）如图,不妨设,,则,,(7分)所以,所以当,即,时,最大值是．(10分)23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知.且.（1）求证：；（2）设为整数,且恒成立,求的最小值.解：（1）由恒等式：由,记,由均值不等式可得：于是又因为,可知,即故只要而,故成立,所以成立,,即式成立,得证.（2）令根据舒尔不等式,可得所以当且仅当时取等,此时故,又为整数,故的最小值为.