高中数学高考2021年高考数学精选考点专项突破题集 专题2 2 导数的应用（教师版含解析）

专题2.2 导数的应用

一、单选题

1、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)函数的图像在点处的切线方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B．

2、若函数在处的切线方程为，则，的值为(    )

A．2,1 B．-2，-1 C．3,1 D．-3，-1

【答案】C

【解析】将代入切线，

得到切点坐标为，

将代入到函数解析式中，得到，

所以，

求导得，

代入得，

所以，得.

故选：C.

3、直线经过点，且与直线平行，如果直线与曲线相切，那么等于(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线经过点，且与直线平行，则直线方程为：

直线与曲线相切，，切点为 代入直线方程

解得：

故选：A

4、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)函数的图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，，当时，，选项B,C都不满足这两个条件.

又当时，，则，当时单调递增，当时单调递减，则选项D不符合这个条件，因此A正确.

故选：A

5、(2019年高考全国Ⅲ卷理数)已知曲线在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则(    )

A．   B．a=e，b=1

C．   D．，

【答案】D

【解析】∵

∴切线的斜率，，

将代入，得.

故选D．

6、(2018年高考全国Ⅰ卷理数)设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.

故选D.

7、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

,由于函数在上有极值点，

所以在上有零点.

所以，解得.

故选：D.

8、若函数在上单调递减，则的最小值是(    )

A． B．-1 C． D．

【答案】A

【解析】由，又在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立.又当时，，故，所以的最小值为.

故答案选A

9、(2020年高考全国III卷理数)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为(    )

A．y=2x+1  B．y=2x+ 

C．y=x+1  D．y=x+

【答案】D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，(舍)，

则直线的方程为，即.

故选：D．

10、(2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考)若函数的极大值是，极小值是，则(    )

A．与有关，且与有关 B．与有关，且与无关

C．与无关，且与无关 D．与无关，且与有关

【答案】C

【解析】∵，∴，

令，得，或，

当变化时，、的变化如下表：

∴，

，

∴，

故选：C．

11、(2019年高考江苏)在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是      .

【答案】4

【解析】由，得，

设斜率为的直线与曲线切于，

由得(舍去)，

∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.

故答案为．

12、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为(    )

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】f′(x)＝x2+2mx+1，

若函数f(x)有极值点，则f′(x)有2个不相等的实数根，

故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，

而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝()2＜1，

满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p，

故选：B．

13、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

根据题意设，则，又当时，，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得

或，即不等式的解集为，

故选：B.

14、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】直线过定点

由题意可知：定点是曲线的对称中心，

，解得，所以曲线，

f′(x)= ，设切点M(x0，y0)，

则M纵坐标y0=，又f′(x0)=，

∴切线的方程为：

又直线过定点

，

得﹣-2=0，

，

即

解得：

故可做两条切线

故选C

二、多选题

15、已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是

A．函数的增区间是， 

B．函数的增区间是， 

C．是函数的极小值点 

D．是函数的极小值点

【答案】

【解析】：根据题意，由函数的图象可知：

当时，，，此时为增函数，

当时，，，此时为减函数，

当时，，，此时为减函数，

当时，，，此时为增函数；

据此分析选项：函数的增区间是，，则正确，错误；

是函数的极大值点，是函数的极小值点，则正确，错误；

故选：．

16、已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为　　

A．的单调减区间是 

B．的极小值是 

C．当时，对任意的且，恒有(a)(a) 

D．函数有且只有一个零点

【答案】

【解析】：，其导函数为．

令，解得，，

当时，即，或时，函数单调递增，

当时，即时，函数单调递减；

故当时，函数有极小值，极小值为(2)，当时，函数有极大值，极大值为，

故函数只有一个零点，

错误，正确；，且，

(a)(a)

，

恒有(a)(a)，

故正确；

故选：．

17、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】函数,,

∵是函数的极值点，∴，即，
,
,

,即A选项正确,B选项不正确;
,即C正确,D不正确.
故答案为:AC.

18、(2019秋•烟台期中)已知函数，若，则下列结论正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．当时，

【答案】

【解析】：．正确；

因为令，在上是增函数，

当 时，，即．

．错误；

因为令，

，时，，单调递增，

时，，单调递减．

与无法比较大小．

．错误；因为令，

，时，，在单调递减，

时，，在单调递增，

当时，，

，，．

当 时，，

，．

．正确；

因为时，单调递增，又正确，

故选：．

三、填空题

19、(江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研)已知，设函数的图象在点(1，)处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ .

【答案】1

【解析】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：，

切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，

l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.

故答案为1.

20、(江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研)若曲线在处的切线斜率为-1，则___________.

【答案】

【解析】，

.

故答案为:-2.

21、(2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)设点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则线段PQ长度的最小值为_________

【答案】

【解析】由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,

设点为,则到直线的距离为,

设,

则,令,即,

所以当时,,即单调递减；当时,,即单调递增,

所以,则,

所以的最小值为,

故答案为:

22、(江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测)函数有两个零点，则k的取值范围是_______.

【答案】

【解析】令，

因为函数有两个零点，

所以的图像与直线有两个交点，

作出函数的图像如下：

因为，

由图像可得：

或.

故答案为

23、(2020届浙江省十校联盟高三下学期开学)已知函数，若函数有三个互不相同的零点0，，，其中，若对任意的，都有成立，则实数的最小值为______.

【答案】

【解析】因为，

由题意可知：，是的根，

则，，△，

，，

当时，，

则存在的极大值点，，

且，

由题意，，

将代入得，

解可得．

又因为，

结合二次函数的性质可知，，

得即的最小值．

故答案为：.

四、解答题

24、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．

【解析】(1)当时，，，

所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.

(2)因为，

因为函数处有极小值，所以，

所以

由，得或，

当或时，，

当时，，

所以在，上是增函数，在上是减函数，

因为，，

所以的最大值为.

25、(2019·夏津第一中学高三月考)已知函数．

当时，讨论的单调性；

【解析】函数的定义域为.

，

因为，所以，

①当，即时，

由得或，由得，

所以在，上是增函数， 在上是减函数；

②当，即时，所以在上是增函数；

③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函

综上可知：

当时在，上是单调递增，在上是单调递减；

当时，在.上是单调递增；

26、(2020年高考天津)已知函数，为的导函数．

(Ⅰ)当时，

(i)求曲线在点处的切线方程；

(ii)求函数的单调区间和极值；

(Ⅱ)当时，求证：对任意的，且，有．

【解析】(Ⅰ)(i)当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．

(ii)依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．

当变化时，的变化情况如下表：

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．

(Ⅱ)证明：由，得．

对任意的，且，令，则

．        ①

令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．

因为，，

所以，

．        ②

由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，

故．        ③

由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．

27、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．(1)求b．

(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

【解析】(1)．

依题意得，即.

故．

(2)由(1)知，.

令，解得或.

与的情况为：

因为，所以当时，只有大于1的零点.

因为，所以当时，f(x)只有小于–1的零点．

由题设可知，

当时，只有两个零点和1.

当时，只有两个零点–1和.

当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．

综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.

28、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)已知函数.

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围.

【解析】(1)当a=1时，f(x)=ex+x2–x，则=ex+2x–1．

故当x∈(–∞，0)时，<0；当x∈(0，+∞)时，>0．所以f(x)在(–∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增．

(2)等价于.

设函数，则

.

(i)若2a+1≤0，即，则当x∈(0，2)时，>0.所以g(x)在(0，2)单调递增，而g(0)=1，故当x∈(0，2)时，g(x)>1，不合题意.

(ii)若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.

所以当时，g(x)≤1.

(iii)若2a+1≥2，即，则g(x)≤.

由于，故由(ii)可得≤1.

故当时，g(x)≤1.

综上，a的取值范围是.

29、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)已知.

(1)求的单调区间；

(2)当时，求证：对于，恒成立；

(3)若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.

【解析】(1)

，

当时，.

解得．

当时，解得．

所以单调减区间为，

单调增区间为．

(2)设

，

当时，由题意，当时，

恒成立．

，

∴当时，恒成立，单调递减．

又，

∴当时，恒成立，即．

∴对于，恒成立．

(3)因为．

由(2)知，当时，恒成立，

即对于，，

不存在满足条件的；

当时，对于，，

此时．

∴，

即恒成立，不存在满足条件的；

当时，令，

可知与符号相同，

当时，，，

单调递减．

∴当时，，

即恒成立．

综上，的取值范围为．

30、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)设函数，.

(1)若，，求函数的单调区间；

(2)若曲线在点处的切线与直线平行.

①求，的值；

②求实数的取值范围，使得对恒成立.

【解析】

(1)当，时，，

则.当时，；

当时，；

所以的单调增区间为，单调减区间为.

(2)①因为，

所以，依题设有，即.

解得.

②，.

对恒成立，即对恒成立.

令，则有.

当时，当时，，

所以在上单调递增.

所以，即当时，；

当时，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，不恒成立.

综上，.