2022-2023学年重庆市育才中学高三下学期开学考试数学试题含答案

      2022-2023学年重庆市育才中学高三下学期开学考试

数学试题

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知命题，，那么（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 若，，则角的终边一定落在直线上

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ）

A  B.

C.  D.

7.

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，则（）图象上关于坐标原点对称的点共有（    ）

A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，则下列函数的最小值为2的有

A.  B.  C.  D.

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 是第三象限角

B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为

C. 若角的终边上有一点，则

D. 若角为锐角，则角为钝角

11. 已知函数部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

C. 是函数图象的一条对称轴

D. 若，则的最小值为

12. 已知实数，，，满足，其中是自然对数的底数，则的值可能是（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数在上单调递减，则___________.

14. 如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_____.

15. 已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，___________.

16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解笞应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

18. 已知.

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求的对称轴.

19. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．

（1）求A和a的大小；

（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．

20. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：

根据以上数据，绘制如图所示的散点图．

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．

（1）根据散点图判断，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程；

（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

21. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点M为的中点．

（1）证明：平面；

（2）AC上是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

22. 已知函数，．

（1）若，证明：；

（2）若恒成立，求a取值范围．

重庆市2022年高三数学开学考试卷

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

2. 已知命题，，那么是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

3. 若，，则角的终边一定落在直线上

A.  B.  C.  D.

【答案】D

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

5. 已知，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

7.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

8. 已知函数，则（）的图象上关于坐标原点对称的点共有（    ）

A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对

【答案】C

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，则下列函数的最小值为2的有

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 是第三象限角

B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为

C. 若角的终边上有一点，则

D. 若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

C. 是函数图象的一条对称轴

D. 若，则的最小值为

【答案】ACD

12. 已知实数，，，满足，其中是自然对数的底数，则的值可能是（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】BCD

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数在上单调递减，则___________.

【答案】

14. 如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_____.

【答案】

15. 已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，___________.

【答案】

16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解笞应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）   

（2）最大值为，最小值0

【解析】

【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；

（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最值.

【小问1详解】

解：，

则，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

【小问2详解】

解：，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

又，

所以函数在上的最大值为，最小值0.

18. 已知.

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求的对称轴.

【答案】（1）最小正周期为，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简可得，进而求得周期，并代入单调递减区间求解即可；

（2）根据函数图象平移的性质可得，再代入正弦函数的对称轴方程求解即可.

【小问1详解】

，所以的最小正周期为.

由，解得，

所以的单调递减区间为.

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以

所以函数的对称轴为，

解得

19. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．

（1）求A和a的大小；

（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；

（2）由锐角三角形得，根据正弦定理有，，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得：

所以，

所以，

因为中，所以，

因为，所以，

因为，由余弦定理得：，解得，

综上，，．

【小问2详解】

由（1）知：，，

由正弦定理得：，．

因为为锐角三角形，故，得．

从而的面积

，

又，，

所以，从而的面积的取值范围为．

20. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：

根据以上数据，绘制如图所示的散点图．

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．

（1）根据散点图判断，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程；

（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】（1）适宜；（2）；（3）12千件产品．

【解析】

【分析】（1）根据散点图判断，适宜；

（2）由，两边同时取常用对数得．设，可得，根据表格数据、参考数据和参考公式求出y关于x的回归方程；

（3）生产总成本=非原料总成本+原料总成本.写出生产总成本为的解析式，根据的单调性，可求产品数量的最大值.

【详解】（1）根据散点图判断，适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型．

（2）由，两边同时取常用对数得．

设，∴，

∵，

∴．

把代入，得，

∴，∴，

∴，

即y关于x的回归方程为．

（3）设生产了x千件该产品.则生产总成本为．

又在其定义域内单调递增，且，

故最多能生产12千件产品．

【点睛】本题考查非线性回归方程的求法，属于较难的题目.

21. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点M为的中点．

（1）证明：平面；

（2）AC上是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）连接与交于点O，连接OM，证明，根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，不妨设，设，，利用向量法求出，从而可得出的结论.

【小问1详解】

解：连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，

因为点M为的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

解：因为，

所以，所以，

如图建立空间直角坐标系，

设，则，，，

设，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则有，取，得，

设平面一个法向量为，

则有，取得，

因为，解得或（舍），

此时，

所以AC上存在点N，当时，二面角的大小为.

22. 已知函数，．

（1）若，证明：；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，利用的零点及单调性推理作答.

（2）由（1）可得当时，不恒成立，当时，将转化为和恒成立求解.

【小问1详解】

函数的定义域为，求导得：，

显然函数在上单调递增，而，即当时，，当时，，

因此，函数在上单调递减，在上单调递增，，

所以.

【小问2详解】

当时，由（1）知，当时，，，即不恒成立，不合题意，

当时，等价于“当时，，当时，”，

当时，令，求导得，显然在上单调递减，

令，，当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，，，即，

因此，，当时，，，

当时，，而，从而存在唯一实数，使得，即，

当时，，当时，，则（即）在上单调递增，在上单调递减，

而，当时，在上，在上单调递增，

当时，，不符合题意，

当时，在上，在上单调递增，

当时，，不符合题意，

当时，在上单调递增，在上单调递减，，，

于是得在上单调递减，而，即当时，，当时，，符合题意，

因此，，，

所以.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.