2023天津市南开中学高三上学期第四次月考数学试题含解析

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1. 已知集合，，，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：，则这12名学生成绩的分位数是（ ）．
A. 92B. 87C. 93D. 91
5. 已知，，，则的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 已知一个正四棱柱所有棱长均为3，若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（ ）．
A B. C. D.
7 已知函数，有下述三个结论：
①的最小正周期是；
②在区间上单调递减；
③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A ①B. ②C. ①②D. ①②③
8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B.
C D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10. 复数z满足（i是虚数单位），则复数z为__________．
11. 在的展开式中，的系数是__________．
12. 直线l经过点P（5，5）且和圆C：相交，截得弦长为，则l的方程是______．
13. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______．
14. 已知，，，则的最小值为__________．
15. 如图，在边长为1的正方形中，P是对角线上一点，且，则__________，若点M为线段（含端点）上的动点，则的最小值为__________．
三、解答题：
16. 在中，角所对的边分别为.已知.
（1）求A的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点.
（1）求证：平面APC；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值.
18. 已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率.
19. 设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．
（1）求数列，数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20. 已知函数，在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由.