专题32 新定义与阅读理解创新型问题及答案

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纸上答题无效。

            专题32新定义与阅读理解创新型问题

一、单选题

1．（四川省雅安市2022年中考数学真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（    ）

A．0 B．2 C．3 D．4

2．（广东省2022年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（    ）

A． B．4 C． D．5

3．（内蒙古通辽市2022年中考数学真题）定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（    ）

A． B． C． D．

4．（江苏省无锡市2022年中考数学真题）设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论：

①函数，在上是“逼近函数”；

②函数，在上是“逼近函数”；

③是函数，的“逼近区间”；

④是函数，的“逼近区间”．

其中，正确的有（    ）

A．②③ B．①④ C．①③ D．②④

5．（2022·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（    ）

A．或 B． C．或 D．或

6．（2022·广西中考真题）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

7．（2022·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）

A．且 B． C．且 D．

8．（2022·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（    ）

A． B． C．2 D．3

二、填空题

9．（广西贵港市2022年中考数学真题）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是________．

10．（辽宁省丹东市2022年中考数学试题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．

11．（浙江省宁波市2022年中考数学试卷）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．

12．（山东省菏泽市2022年中考数学真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．

13．（2022·湖南娄底市·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．

14．（2022·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

15．（2022·湖北中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．

三、解答题

16．（江苏省南通市2022年中考数学试题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．

（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；

（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

17．（江苏省常州市2022年数学中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．

（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；

②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；

（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；

（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

18．（湖南省张家界市2022年中考数学真题试题）阅读下面的材料：

如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，

（1）若，都有，则称是增函数；

（2）若，都有，则称是减函数．

例题：证明函数是增函数．

证明：任取，且，

则

∵且，

∴，

∴，即，

∴函数是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数，，，_______，_______；

（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．

19．（山东省枣庄市2022年中考数学真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究．

因为，即，所以可以对比函数来探究．

列表：（1）下表列出与的几组对应值，请写出，的值：      ，      ；

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来：

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当时，随的增大而 ；（填“增大”或“减小”）

②函数的图象是由的图象向      平移      个单位而得到．

③函数图象关于点      中心对称．（填点的坐标） 

20．（内蒙古赤峰市2022年中考数学真题）阅读理解：

在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．

（1）已知点A的坐标为．

①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；

②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；

（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．

21．（湖北省荆州市2022年中考数学真题）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如

下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：__________；

②方程的解为：__________；

③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________．

（2）延伸思考：

将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．

22．（2022·江西中考真题）二次函数的图象交轴于原点及点．

感知特例

（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；

②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；

③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．

23．（2022·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．

（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；

（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；

（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．

24．（2022·四川中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，

记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

，理由如下：

设，则．

．由对数的定义得

又

．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①___________；②_______，③________；

（2）求证：；

（3）拓展运用：计算．

25．（2022·重庆中考真题）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．

例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，

是“合和数”．

又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，

不是“合和数”．

（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；

（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．

26．（2022·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；

（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；

（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．

27．（2022·四川中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算．

例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点M（0，3）到直线的距离；

（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．

28．（2022·湖北中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．

猜想发现：由；；；；；

猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．

猜想证明：∵

∴①当且仅当，即时，，∴；

②当，即时，，∴．

综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．

猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？

变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？

拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

29．（2022·内蒙古中考真题）数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

（问题发现）

小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；

小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；

（类比探究）

他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；

（归纳总结）

最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．

（2）求出时的值和的度数．

30．（2022·山东中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想．

（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长．

31．（2022·湖北中考真题）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．

（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；

（2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；

（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．

32．（2022·江苏中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．

（1）若m＝3．

①求证：∠OAD＝60°；

②求的值；

（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；

（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．