北师大版九年级下册1 锐角三角函数巩固练习

这是一份北师大版九年级下册1 锐角三角函数巩固练习，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训1.1 锐角三角函数函数的定义及求值一、单选题1．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（    ）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．【详解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．2．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=，∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，余角的性质，正弦三角函数等于对边比斜边．3．（2021·上海市川沙中学南校九年级期中）已知AE、CF是锐角的两条高，若，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先表示出sin∠BAC=，sin∠ACB=，进而得出答案．【详解】解：如图所示：∵sin∠BAC=，sin∠ACB=，=，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．4．（2021·山东·济南市莱芜实验中学九年级期中）在中，∠C=90°，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦定义求解即可．【详解】解：如图，，设，，由勾股定理得，，．故选A．【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用“设法”表示出三角形的三边求解更加简便．5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在Rt中，CD是斜边AB上的高，，则下列比值中不等于的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．【详解】在中， ,在中， , , , ,在中，,故选：D．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2021·上海宝山·九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∴sin∠B=，故选B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．（2021·辽宁瓦房店·九年级月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，则BC的长为（　　）A．6 B．8 C．10 D．9【答案】B【分析】根据锐角三角函数定义和勾股定理求解即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，∴cosA＝＝＝，∴AB＝10，∴BC＝＝＝8．故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．8．（2021·全国·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用勾股定理求得AB的长，然后利用余弦的定义即可求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，则cosA=．故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．9．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，则cosA的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角的余弦值的定义解决此题．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cosA＝．故选：A．【点睛】本题考查了锐角的余弦值，熟练掌握锐角的余弦值的定义是解题的关键．10．（2021·吉林·长春外国语学校九年级期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切是（     ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】过点作于点，过点作于点，则，，利用勾股定理可求出，的长，利用等面积法可求出的长，由勾股定理求出，再利用正切的定义可求出的正切值．【详解】过点作于点，过点作于点，则，，如图所示．，，在中，由等面积法得：，即，，在中，,．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出长度是解题的关键．11．（2021·全国·九年级专题练习）中，，若，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义，设，则，利用勾股定理即可表示出的长，利用锐角三角函数的定义即可求得的值．【详解】解：∵在中，，∴，，.∵，设，则，，∴.故选A.【点睛】本题考查了求锐角三角函数值的方法，勾股定理等知识点，解答本题的关键是利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法表示出三角形的边长，进而求值．12．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，如果，那么的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据勾股定理求出b，再利用三角函数定义求解即可；【详解】解：在△ABC 中， ∠C=90° ，由知，设，则，结合，得，可得；故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数定义和勾股定理，准确计算是解题的关键．13．（2021·上海市川沙中学南校九年级期中）已知在中，，，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，据此进行计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA==．
故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，解题时注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则tanA=．14．（2021·全国·九年级课时练习）在中，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意，作出图形，设，则，进而求得，根据正切的定义求得即可．【详解】如图，在中，，，设，则，由勾股定理可得，．故选A．【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义，求得是解题的关键．15．（2021·吉林·长春市第八十七中学九年级月考）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4，那么下列各式中正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC=4，∴,∴，，． 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的意义，熟知三角函数的意义是解题的关键．  二、填空题16．（2021·上海虹口·九年级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，则sinB等于____．【答案】【分析】根据正弦函数的定义“在直角三角形中，任意一锐角的对边比斜边的比叫做这个角的正弦”进行解答即可得．【详解】解：在中，，AC=6，AB=8，则，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟记正弦函数的定义．17．（2021·上海宝山·九年级期中）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA＝，那么AB的长是____．【答案】4【分析】根据三角函数的定义，求得的长度，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：由三角函数的定义可得：又∵∴由勾股定理得故答案为4【点睛】此题考查了三角函数的定义以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的有关定义．18．（2021·山东栖霞·九年级期中）如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于_________．【答案】【分析】设小正方形的边长为1，过C作CD⊥AB于D，求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AB和AC，根据三角形的面积求出高CD长，根据勾股定理求出AD，再求出答案即可．【详解】解：设小正方形的边长为1，过C作CD⊥AB于D，S△ABC2，由勾股定理得：AB2，AC2，∴2CD，解得：CD，由勾股定理得：AD，∴cos∠BAC，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出△ABC的面积是解此题的关键．19．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，，则等于________．20．（2021·山东招远·九年级期中）如图，在中，，，以边上的中线为折痕将折叠，使点落在点处，如果恰好与垂直，则____．【答案】##【分析】根据直角三角形斜边中线的性质及折叠的性质得到∠D=∠A=∠MCD=∠ACM，再利用垂直的定义求出∠A=30°，由此得到答案．【详解】解：∵在中，，为边上的中线，∴CM=AM=BM，∴∠A=∠ACM，由折叠得DM=AM，∴CM=DM，∴∠D=∠A=∠MCD=∠ACM，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=30°，∴tan30°=，故答案为：．【点睛】此题考查折叠的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂直的定义，求特殊角度的正切值，熟记折叠的性质及直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．21．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连接，若满足，，则点的坐标为___．【答案】【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，从而可知的长，进而可知的值，由，设，，的值列出关于的方程，解得的值，则可得点的坐标．【详解】解：，，即，，，，，，，，，，由勾股定理可得：，即，解得：，．．如图，过点作轴于点，，设，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解．点坐标为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．22．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点处，则的正弦值为______．【答案】##【分析】根据网格的特点先计算的长度，进而可得是等腰三角形，找到的中点，连接，在中即可求得的值，即的正弦值．【详解】如图，在中．故答案为：【点睛】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的性质，正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（2021·辽宁·大连市第三十四中学九年级月考）在中，，若，则__．【答案】【分析】根据题意画出相应图形，然后利用三角函数的定义及勾股定理求解即可．【详解】解：在中，，，设，则，∴，．故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，通过设参数的方法求三角函数值是解决本题的关键．24．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，若，，则______，______，______，______，______．【答案】5                    【分析】根据勾股定理求出c，再利用锐角三角函数求出对应的三角函数值．【详解】解：在中，，∴，∴，，，，故答案为：5，，，，．【点睛】此题考查利用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，熟记各锐角三角函数的求值公式是解题的关键．25．（2021·全国·九年级课时练习）如图，各三角形的顶点都在方格纸的格点上，则_______，_______，_______．【答案】            【分析】将、、置于直角三角形中，进而求出、、的值即可．【详解】解：如图所示，构造直角三角形，∵在中，，，∵在中，， ，∵在中，∵在中，，，∴；故答案为；，．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是将所求角置于直角三角形中． 三、解答题26．（2021·全国·九年级课时练习）分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．【答案】图（1），，，，，；图（2），，，，，【分析】根据勾股定理，可得直角三角形的另一边，根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，正切函数是对边比邻边，可得答案 ．【详解】解：（1） 图1由勾股定理得：，，，，，，；（2）图2 由勾股定理得：，，，，，，．【点睛】本题考查了锐角三角函数， 利用锐角三角函数的定义是解题关键 ．27．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案】AD=2【分析】作DE⊥AB于E，先利用勾股定理求出，然后证明△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，设AE=x，则DE=x，则，在Rt△BED中，，则BE=5x，再由即可求解．【详解】解：作DE⊥AB于E，如图，∴∠AED=∠DEB=90°∵∠C=90°，AC=BC=6，∴，∠A=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，∴在Rt△BED中，，∴BE=5x，∴，∴∴【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法．28．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在Rt中，，求和的值．【答案】图（1），，图（2），【分析】图（1）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，，图（2）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，即可．【详解】解：如图（1），在中，由勾股定理得．∴，． 如图（2），在中，由勾股定理得．∴，．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理．掌握三角函数的定义是解答本题的关键．29．（2021·全国·九年级课时练习）分别求出图中，的正弦值、余弦值和正切值．【答案】图（1），，，，，；图（2），，，，，；图（3），，，，，【分析】先由勾股定理求出每个直角三角形未知的第三边，再由锐角三角函数的定义即可求得两个锐角的各个三角函数值．【详解】解：图（1）由勾股定理得：∴，，，，，；图（2）由勾股定理得：，，， ，，；图（3）由勾股定理得： ，，， ，，；【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．30．（2021·全国·九年级课时练习）在中，，是边上的中线，，求和．【答案】.，，【分析】利用，是边上的中线，先求解 证明再利用勾股定理求解 再由等角的三角函数值相等，从而可得答案.【详解】解：如图，，是边上的中线， 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的定义，掌握锐角的正弦，余弦，正切的定义是解题的关键.