北师大版九年级下册1 圆课后测评

这是一份北师大版九年级下册1 圆课后测评，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训3.4.2 圆周角定理
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝30°，则∠ACD的度数为（　　）

A．30° B．37.5° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】
由，得到，在直角三角形中，求得；根据，得到，即可得到正确答案．
【详解】
解：如下图：

设AC与OD相交于点Ｅ
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，根据定理内容解题是关键．
2．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）

A．10° B．14° C．16° D．26°
【答案】C
【分析】
连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．

【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
3．已知圆上的三点，，和圆内的一点，根据与的大小，下列四个选项中能判断点一定不是该圆圆心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用圆周角定理判断即可．
【详解】
解：选项A，B，C中，∵∠BOC=2∠A，
∴选项A，B，C中，点O可能是圆心．
选项D中，∠BOC≠2∠A，
∴点O一定不是圆心，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
4．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
【详解】
解：是的外接圆的直径，
点，，，在上，
，
，
是的外接圆的直径，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到，是解题的关键．
5．如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是（ ）

A．45° B．50° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】
连接AD，根据等腰三角形的性质和圆心角的性质计算即可；
【详解】
连接AD，

∵AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴的度数；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，准确计算是解题的关键．
6．如图，点A、B、C在⊙O上，，则的度数是（ ）

A．40° B．84° C．42° D．30°
【答案】C
【分析】
关键圆周角定理得出∠ACB=∠AOB，再求出答案即可．
【详解】
解：∵∠AOB=84°，
∴∠ACB=∠AOB=42°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
7．如图，是的内接三角形，若，则的度数等于（ ）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【分析】
欲求∠AOC，又已知圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【详解】
因为∠ABC和∠AOC是同一条弧AC所对的圆周角和圆心角，所以∠AOC=2∠ABC×70°=140°，
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理.
8．如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质和圆周角定理计算即可；
【详解】
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质，准确计算是解题的关键．
9．如图，是正方形的外接圆，点是上任意一点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接，根据正方形的外接圆性质得到，再根据圆周角定理计算即可；
【详解】
连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
故选B．

【点睛】
本题主要考查了正方形的外接圆性质、圆周角定理，准确计算是解题的关键．
10．如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（　　）

A．131° B．119° C．122° D．58°
【答案】B
【分析】
根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半即可求解．
【详解】
解：∵同弧所对的圆心角是圆周角的一半；
∴
根据圆内接四边形对角互补

故选：B
【点睛】
此题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理是解题的关键．
11．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】
解：∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
12．如图，已知是的直径，把为的直角三角板的一条直角边放在直线上，斜边与交于点，点与点重合，且大于，将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分析可得：开始移动时，x=30°，移动开始后，∠POF逐渐增大，最后当B与E重合时，∠POF取得最大值，即2×30°=60°，故x的取值范围是30≤x≤60．
【详解】
解：开始移动时，x=30°，
移动开始后，∠POF逐渐增大，
最后当B与E重合时，∠POF取得最大值，
则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍得：
∠POF=2∠ABC=2×30°=60°，
故x的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理和平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．
二、填空题
13．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为__________________．

【答案】
【分析】
如图，连接 先求解 再证明在以为圆心，半径为的圆上，再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：如图，连接
点D对应的刻度值为50°，


直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，

在以为圆心，半径为的圆上，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是直角三角形的外接圆的性质，圆周角定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，灵活运用以上知识解题是解题的关键.
14．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是_______度．

【答案】126
【分析】
先根据圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【详解】
∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°．
故答案是：126．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，，∠BDC＝40°，则∠ADC的度数是_____．

【答案】140°
【分析】
连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再由得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【详解】
解：连接OA，OB，OC，

∵∠BDC=40°，
∴∠BOC=2∠BDC=80°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=80°，
∴∠ABC=∠AOC=40°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=140°．
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
16．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则弦AB所对的圆周角的度数 ___．
【答案】
【分析】
连接、，结合题意，根据等边三角形性质，得；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．
【详解】
如图，连接、

∵半径为1的⊙O中，弦AB的长为1
∴
∴△ABO是等边三角形
∴
∴弦AB所对的圆周角的度数为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形和圆的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．
17．如图，是的外接圆，，是上的一点，则等于________．

【答案】65°
【分析】
根据圆周角定理（同弧所对在圆周角相等）进行解答．
【详解】
解：根据同弧所对的圆周角相等，得
．
∵，
∴．
故答案为：65°
【点睛】
本题考查了圆周角定理．注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

三、解答题
18．如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论．

【答案】等边三角形，见解析
【分析】
利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状．
【详解】
解：△ABC是等边三角形．证明如下：
由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°．
19．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，求∠DOE的度数．

【答案】
【分析】
连接 由为直径，求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接 由为直径，

则



【点睛】
本题考查的是直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟悉圆周角定理的应用是解题的关键.
20．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=150°，弧BC为50°，求∠ABD、∠AED的度数．

【答案】
【分析】
根据圆周角定理直接求得，弧的度数等于圆心角的度数求得,根据圆周角定理求得，根据三角形的外角性质进而可得的度数．
【详解】
解：如图，连接，

,，
，
弧BC为50°，
，
，
，
是的一个外角，
，
．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
21．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
【答案】（1）20；（2）30°
【分析】
（1）根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出⊙O的半径，即可求出答案；
（2）连接OC，先证明，从而可证得、、的度数是即∠MOC=60°，再由圆周角定理即可求解．
【详解】
解：（1）∵弦CD⊥AB，
∴，∠OED=90°
设圆的半径为r，则OD=r，OE=OB-OE=r-4，
∴即，
解得，
∴圆的直径；
（2）连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴，
∵∠M＝∠D，
∴，
∴，
∵MD过O，
∴、、的度数是，
∴∠MOC=60°，
∴．

【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理和圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．如图，⊙O的直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D．

（1）连AD，BD，判断△ABD 的形状，并说明理由；
（2）求弦CD的长．
【答案】（1）△ABD为等腰直角三角形；理由见解析；（2）CD＝7厘米．
【分析】
（1）先根据圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，再由角平分线定义和圆周角定理得，即可得出结论；
（2）过A点作AH⊥CD于H，先由等腰直角三角形的性质求出CH、AH的长，再由勾股定理求出DH的长，即可得出答案．
【详解】
解：（1）△ABD为等腰直角三角形；
理由如下：如图，连接AD、BD，

∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴，
∴AD＝BD，
∴△ABD为等腰直角三角形；
（2）过A点作AH⊥CD于H，由（1）△ABD为等腰直角三角形，
∴ADAB10＝5厘米；
在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，
∴AH＝CHAC6＝3厘米，
在Rt△ADH中，DH4，
∴CD＝CH+DH＝347．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，是上的两点，是的中点，求证；四边形是菱形．

【答案】见解析
【分析】
连接OC，证明 再证明为等边三角形，结合菱形的判定，从而可得结论.
【详解】
证明：连接OC，∵C是的中点，

∴＝，又∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△AOC与△BOC均是等边三角形，
∴OA＝AC＝OC，BO＝OC＝BC，
∴OA＝AC＝BC＝OB，
∴四边形OACB是菱形．
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练运用等边三角形与菱形的判定是解题的关键.
24．已知：如图，内接于，平分交于点M，于D．求证：．

【答案】见解析.
【分析】
首先延长AO交⊙O于N，连接BN，根据圆周角定理与AD⊥BC，可得∠ABN=∠ADC=90°，又由∠C=∠N，可得∠BAN=∠DAC，然后根据AM平分∠BAC，即可证得∠MAO=∠MAD．
【详解】
证明：延长AO交⊙O于N，连接BN，

∵AN是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠ABN=∠ADC=90°，
∴∠BAN+∠N=90°，∠DAC+∠C=90°，
∵∠N=∠C，
∴∠BAN=∠DAC，
∵AM平分∠BAC， 即∠BAM=∠CAM，
∴∠MAO=∠MAD．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理以及角平分线的定义，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆周角定理的应用．
25．小明遇到这样一个问题：
如图1，在锐角中，，，分别为的高，求证：．
小明是这样思考问题的：如图2，以为直径作半圆，则点，在上，，所以．

（1）请回答：若，则的度数是________；
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角中，，，分别为的高，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）利用圆的内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠CEF＝180°，又由邻补角的定义，可得∠CEF+∠AEF＝180°，继而求得∠AEF＝∠ABC＝40°．
（2）首先由在锐角中，AD、BE、CF分别为的高，证得点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上，点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上，则可得∠CDE＝∠BAE，∠BDF＝∠BAC，继而证得结论．
【详解】
（1）解：∵四边形BCEF内接于，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）证明：∵在锐角中，，，分别为的高，
∴，
∴点，，，在以为直径的半圆上，
∴，
又∵，
∴，
同理，点，，，在以为直径的半圆上．
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意能证得点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上与点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上是关键．
26．如图，等边内接于，点是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点，使，连接、．

（1）如图1，若经过圆心；
①求的度数；
②猜想是何种特殊三角形，并加以证明；
（2）小明经过探究发现：“无论点在劣弧上怎样运动（如图2），的大小都不会发生变化.”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）①；②是等边三角形，见解析；（2）小明的说法正确，见解析
【分析】
（1）①根据等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到答案；②根据等边三角形的性质和题意证明△BAP≌△DBC，得到PC=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠DPC=60°，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）△CAP≌△DBC，得到PC=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠DPC=60°，证明△PCD等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠D即可．
【详解】
解：（1）①∵是等边三角形，
∴，，
∴，
又经过圆心，
∴，
∴；
②是等边三角形．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形；
（2）小明的说法正确．
理由：根据题意可得，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴无论点在劣弧上怎样运动，的大小都不会发生变化．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的推理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及研究四边形的性质，灵活运用相关定理、数形结合思想是解题的关键．
27．如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．
（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．
①若△APB是直角三角形，请在图1中画出点P的位置；
②当AB=1时，∠APB= °；
（2）如图2，若点P是⊙O外一点，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设，，试用、表示∠APB；
（3）如图3，过点A作射线AM⊥AB，AM交⊙O于点C，
①连接BC，求证：BC是⊙O的直径；
②若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD=2，E为BD的中点，在点D的运动过程中，直接写出线段AE长度的取值范围．

【答案】（1）①画图见解析；②；（2）；（3）①证明见解析；②．
【分析】
（1）①存在两个符合条件的点，当；②先得是等边三角形，可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得结论；
（2）先根据三角形内角和定理得：，再由平角的定义可得：，代入可得结论；
（3）①根据的圆周角所对的弦是直径可得结论；②先根据勾股定理可得，确定是的中点，连接和，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后在中根据三边关系即可求解．
【详解】
解：（1）①如图1所示：

②如图2，连接、，

，
是等边三角形，
，
；
故答案为：30；
（2）如图3，，
，

，，
，
；
（3）①，
，
是的直径；
②如图4，点是平面内的一个动点，且，
点的运动路径为以为圆心，以2为半径的圆，

是的直径；
是的中点，
连接、，
在直角中，，
是直角斜边上的中点，
，
是的中点，是的中点，
，
在中，，即．
故答案是：．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，点的运动轨迹，三角形的中位线定理等知识，并结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的三边关系解答．构建恰当的三角形求解线段长度的范围是解本题的关键.