初中数学北师大版九年级下册1 圆课时练习

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 圆课时练习，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训3.5.1 点与圆的位置关系+外心的辨析
一、单选题
1．⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm，
∵点A到圆心O的距离OA＝6cm，且6＞4，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外时，d＞r；点P在圆上时，d＝r；点P在圆内时，d＜r．反之也成立．
2．已知的半径为1，点与圆心的距离为，且关于的方程无实数根，则点在（ ）
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的情况，判断d的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系．
【详解】
解：∵关于的方程没有实根，
∴4－4d＜0，即d＞1；
又∵⊙O的半径为1，d＞r，
∴点在外．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是本题解题关键．
3．已知的半径为2，点与点的距离为4，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据点与圆心的距离大于半径即可得到答案．
【详解】
解：的半径为2，点A与点的距离为4，
即A与点的距离大于圆的半径，
所以点A与外．
故选：．
【点睛】
此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离大于半径，点在圆外；点与圆心的距离等于半径，点在圆上；点与圆心的距离小于半径，点在圆内．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则（　　）
A．点A在⊙O上
B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外
D．点A与⊙O的位置关系无法确定
【答案】A
【分析】
先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．
【详解】
解：∵点A（4，3）到圆心O的距离，
∴OA＝r＝5，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，也考查了勾股定理的应用．
5．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（ ）
A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外
C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上
【答案】D
【分析】
根据⊙O的半径为R和点P到圆心O的距离为d之间的关系，对点与圆的位置关系进行判断即可．
【详解】
解：∵d≥R，
∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．
故选D．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r点P在圆内⇔d＜r．解题关键是熟记点和圆的位置关系与圆的半径和点到圆心的距离的关系．
6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（　　）

A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定
【答案】C
【分析】
欲求点C与⊙B的位置关系，关键是求出BC，再与半径3进行比较．若d＜r，则点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ，
有勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
∵以点B为圆心，3为半径作⊙B，
∴r＜d，
∴点C在⊙B外．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，含 角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题的关键．
7．如图，在中，，，，是它的中线，以C为圆心，为半径作，则点M与的位置关系为（ ）

A．点M在上 B．点M在内
C．点M在外 D．点M不在内
【答案】A
【分析】
根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】
∵由勾股定理得
∵CM是AB的中线，
∴CM = 5cm，
∴d=r
所以点M在OC上，
故选：A．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上圆心到点的距离=圆的半径．
8．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
【详解】
∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．
9．已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】
解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm，
∴线段OA的长度＜5cm．
故选：A．
【点睛】
此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内．
10．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．
【详解】
解：∵⊙A的半径为3，若点B在⊙A内，
∴AB＜3，
∵点A所表示的实数为5，
∴2＜a＜8，
故选：D．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
11．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5
【答案】C
【分析】
直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】
解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，
∴OA小于r，OB大于r，
∵OA＝3，OB＝5，
∴3＜r＜5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
12．以下命题：
①三角形的内心是三角形三边中垂线的交点；
②任意三角形都有且只有一个外接圆；
③圆周角相等，则弧相等．
④经过两点有且只有一个圆，其中真命题的个数为（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据三角形外心的概念，确定圆的条件，圆周角定理判定即可.
【详解】
解：①三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，本小题说法是假命题；
②任意三角形都有且只有一个外接圆，本小题说法是真命题；
③在同圆或等圆中，圆周角相等，则弧相等，本小题说法是假命题；
④经过两点有无数个圆，本小题说法是假命题；
故选A
【点睛】
本题主要考查了命题的判定，正确的命题在真命题，错误的命题角假命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识.
13．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】
要确定圆的大小需知道其半径．根据三角形外接圆的圆心的确定方法知第①块可确定半径的大小．
【详解】
解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
14．下列判断中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C．平分弧的直径平分弧所对的的弦 D．三点确定一个圆
【答案】C
【分析】
根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．
【详解】
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；
B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；
C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；
D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理和确定圆的条件，解题的关键是平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据圆的性质、垂径定理、三角形的外接圆等性质逐项进行判断即可．
【详解】
解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；
②圆的两条平行弦所夹的弧相等；故②正确，符合题意；
③任意一个三角形有且只有一个外接圆；故③正确，符合题意；
④平分弦（非直径）的直径垂直于弦；故④错误，不符合题意；
其中正确的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系等知识，解题关键是熟记相关性质，准确进行判断．
16．如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，根据圆周角定理得到∠BCD=∠BAD=40°，进而可求出∠ACD的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°，
∵，
∴∠BCD=∠BAD=40°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=100°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
17．如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述正确的是（ ）

A．是的外心，是的外心 B．是的外心，不是的外心
C．不是的外心，是的外心 D．不是的外心，不是的外心
【答案】B
【分析】
根据三角形的外心的性质，可以证明O是的外心，不是的外心．
【详解】
解析：如图，连接，，,

∵是的外心，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是的外心，
∵，
∴不是的外心，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外心的性质，正方形的性质等知识，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．是的外接圆，则点是的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】A
【详解】
解：∵圆O是的外接圆，
∴点O到A、B、C三点的距离相等，
∴点O是的三条边的垂直平分线的交点．
故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角形外接圆的圆心，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19．如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点O是△ABC外心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，结合尺规作线段垂直平分线的方法做出选择．
【详解】
解：A、此选项作图痕迹是作角平分线的交点，O是内心，不符合题意；
B、此选项作图痕迹是作角平分线和垂直平分线的交点，O不是外心，不符合题意；
C、此选项作图痕迹是作三角形边的垂直平分线的交点，O是外心，符合题意；
D、此选项作图痕迹只作了边BC上的垂直平分线，O不是外心，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，同时也涉及了角平分线的尺规作图，熟知三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点是解答的关键．
20．如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（ ）

A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
【答案】B
【分析】
如图（见解析），先利用勾股定理分别求出的长，再根据三角形外心、重心、内心的定义即可得．
【详解】
解：如图，连接，

由勾股定理得：，，
点在的垂直平分线上，
点是的外心，
，
点既不是的外心，也不是的重心，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外心、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形的外心定义是解题关键．
21．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（　　）

A．直线MN是线段BC的垂直平分线
B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90°
D．点D为△ABC的内心
【答案】D
【分析】
根据垂直平分线的性质和三角形外接圆、圆周角性质判断即可．
【详解】
解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∵DC＝DA，
∴DC＝DB＝DA，
∴点D是△ACB的外心， AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
故选项A，B，C正确，
答案：D．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和三角形的外接圆、圆周角性质，解题关键是熟练掌握相关性质，准确进行推理判断．
22．已知点O是的外心，作正方形，下列说法：①点O是的外心；②点O是的外心；③点O是的外心；④点O是的外心．其中说法一定正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】
根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．
【详解】
解：连接OB、OD、OA，
∵O为三角形ABC的外心，
∴OA=OC=OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OE=OC＜OD，
∴OA=OB=OC=OE≠OD，
∴OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，故①正确；
OA=OC≠OD，即O不是△ADC的外心，故②错误；
OB=OC=OE，即O是△BCE的外心，故③正确；
OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故④错误；
故选：B．

【点睛】
本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
23．给出下列说法：
①经过三点一定可以作圆；
②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
分别根据确定圆的条件、三角形的外接圆的性质及三角形外心的定义对各小题进行逐一判断即可.
【详解】
①必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆,故本选项错误;
②根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆,故本选项正确;
③圆上有无数个点,任意连接3个点即是圆的一个内接三角形,故本选项错误;
④三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点,所以到三角形三个顶点的距离相等,故本选项正确.
故选C..
【点睛】
本题考查的是确定圆的条件及三角形的外接圆与外心,解答此题时要熟知三角形外心的定义,即三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心.
二、填空题
24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，将AC绕点A逆时针旋转120°得AD，若AB＝2，则BD的最大值为_____．

【答案】
【分析】
将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与C重合，B'是定点，BD的最大值即B'C的最大值，根据圆的性质，可知：B'、O、C三点共线时，BD最大，根据勾股定理可得结论．
【详解】
如图，将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与C重合，B'是定点，BD的最大值即B'C的最大值，即B'、O、C三点共线时，BD最大，过B'作B'E⊥AB于点E，
由题意得：AB＝AB'＝2，∠BAB'＝120°，
∴∠EAB'＝60°，
Rt△AEB'中，∠AB'E＝30°，
∴AE＝AB'＝1，EB'＝＝，
由勾股定理得：OB'＝＝＝，
∴B'C＝OB'＋OC＝＋1．
故填：＋1．
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，有一定的难度，掌握圆外一点与圆上一点的最大距离过圆心这一性质且正确做出辅助线是本题的关键．
25．点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
【答案】或
【分析】
分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】
设的半径为
当点在外时，根据题意得：
∴
当点在内时，根据题意得：
∴
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
26．如图，在中，．能够将完全覆盖的最小圆形纸片的面积是_______．

【答案】
【分析】
由已知可得是钝角三角形，则点在以为直径的圆的内部，故能够将完全覆盖的最小圆是以为直径的圆．过点作于点，根据直角三角形的性质可求得BC的长，再根据圆的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵，点在以为直径的圆的内部，故能够将完全覆盖的最小圆是以为直径的圆．过点作于点，

在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
故所求圆形纸片的面积是．
故答案为：
【点睛】
本题考查能覆盖三角形的最小圆，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养． 本题易将所求圆错认为是的外接圆，能使锐角三角形或直角三角形被完全覆盖的最小圆是它的外接圆，能使钝角三角形被完全覆盖的最小圆不是其外接圆，而是以其最长边为直径的圆．
27．已知：∠BAC．

（1）如图，在平面内任取一点O；
（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；
（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；
（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①△ADE是⊙O的内接三角形； ② ；
③ DE=2PE； ④ AP平分∠BAC．
所有正确结论的序号是______________．
【答案】①④
【分析】
①按照圆的内接三角形的定义判断即可，三顶点都在一个圆周上的三角形，叫做这个圆周的内接三角形；
② 利用垂径定理得到弧长之间的关系即可；
③设OP与DE交于点M，利用垂径定理可得DE⊥OP，DE=2ME，再利用直角三角形中斜边长大于直角边，找到PE与与ME的关系，进一步可以得到DE与PE的关系；
④根据 ，即可得到∠DAP=∠PAE，则AP平分∠BAC．
【详解】
解：①点A、D、E三点均在⊙O上，所以△ADE是⊙O的内接三角形，此项正确；
② ∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴
并不能证明与、关系，
∴不正确；
③设OP与DE交于点M

∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴DE⊥OP， ME=DE（垂径定理）
∴△PME是直角三角形
∴ME＜PE
∴＜PE
∴DE＜2PE
故此项错误.
④∵ （已证）
∴∠DAP=∠PAE（同弧所对的圆周角相等）
∴AP平分∠BAC．
故此项正确.
故正确的序号为：①④
【点睛】
本题考查了圆中内接三角形定义、垂径定理与圆周角定理的应用，熟练掌握定理是解决此题的关键.
三、解答题
28．锐角外接圆的圆心为O，线段的中点分别为M、N，，．设．

（1）请直接用表示；
（2）判断的形状，并给出证明；
（3）求的大小．
【答案】（1）∠BAC=180°-10θ，∠MON=180°-2θ；（2）等腰三角形，证明见解析；（3）12°
【分析】
（1）根据已知条件得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的三线合一和等边对等角的性质和三角形的内角和定理，分别表示出∠NOC和∠AOC，进一步计算出∠ONM，根据直角三角形的性质可以求得∠OBN=30°．再求得∠OMN的大小．
【详解】
解：（1）连接OC，
∵∠OMN=θ，
∠ABC=4θ，∠ACB=6θ；
∴∠BAC=180°-10θ，
∴∠BOC=2∠BAC=2（180°-10θ），
∵N是BC的中点，
∴ON垂直于BC，
∴∠NOC=∠BON=∠BOC=∠BAC=180°-10θ，
∵∠ABC=4θ，
∴∠AOC=8θ，
∴∠NOC=180°-10θ，∠AOC=8θ，
∴∠AON=∠NOC+∠AOC=180°-10θ+8θ=180°-2θ，
∴∠MON=180°-2θ；
（2）∵∠OMN=θ，
由（1）知，∠MON=180°-2θ，
∴∠ONM=180°-∠MON-∠OMN=θ=∠OMN，
∴OM=ON，
∴△MON为等腰三角形；
（3）∵OA=OB，由 （2）知，
△OMN是等腰三角形，
∴ON=OM=OA=OB，
∵N是BC的中点，
∴ON⊥BC，
∴∠OBN=30°，
∴180°-10θ=60°，
∴θ=12°，
∴∠OMN=12°．

【点睛】
此题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．