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初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数巩固练习
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这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数巩固练习，共42页。
专题2.12 二次函数章末重难点突破
【北师大版】
【考点1 二次函数的概念】
【例1】（2020秋•涟源市期末）当函数y=(a-1)xa2+1+2x+3是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a＝﹣1
【解题思路】根据二次函数的定义列出不等式和方程，解方程和不等式得到答案．
【解答过程】解：∵y＝（a﹣1）xa2+1+2x+3是二次函数，
∴a﹣1≠0，a2+1＝2，
解得，a＝﹣1，
故选：D．
【变式1-1】（2020秋•郫都区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【解题思路】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答过程】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：A．
【变式1-2】下列各式：①y=3x2+2x﹣5；②y＝﹣5+8x﹣3x2；③y＝ax2+bx+c；④y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2；⑤y＝mx2+x；⑥y＝bx2+1；⑦y＝x2+kx+20，其中y是x的二次函数有 （填序号）．
【解题思路】分别利用二次函数的定义分析得出即可．
【解答过程】解：①y=3x2+2x﹣5，是二次函数；
②y＝﹣5+8x﹣3x2，是二次函数；
③y＝ax2+bx+c，a≠0时是二次函数，故原函数不是二次函数；
④y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2＝﹣x﹣6，故不是二次函数；
⑤y＝mx2+x，m≠0时是二次函数，故原函数不是二次函数；
⑥y＝bx2+1，b≠0时是二次函数，故原函数不是二次函数；
⑦y＝x2+kx+20，是二次函数；
其中y是x的二次函数有①②⑦．
故答案为：①②⑦．
【变式1-3】函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝ 时，它为正比例函数；当m＝ 时，它为一次函数；当m 时，它为二次函数．
【解题思路】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．
【解答过程】解：m2﹣3m+2＝0，
则（m﹣1）（m﹣2）＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；
故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2
【考点2 二次函数图象的综合】
【例2】（2020秋•河东区期中）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝a（x﹣1）（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答过程】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=--22a＞0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=--22a＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
【变式2-1】（2020秋•包河区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意得到a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，即可得到抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x=-b2c＜0，交y轴正半轴，经过点（﹣1，0），据此即可判断．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，
∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，
∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x=-b2c＜0，交y轴正半轴，
当x＝﹣1时，y＝c﹣b+a＝0，
∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1，0），
故选：B．
【变式2-2】（2020秋•东营区期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤（a+c）2＜b2．其中结论正确的为（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵-b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝﹣1时，y＞0，即：a﹣b+c＞0．
当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0
两式相乘得（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2．故⑤正确．
故选：C．
【变式2-3】（2020秋•鹿邑县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，现有以下结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论序号为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【解题思路】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断①；根据x＝0与x＝﹣2关于对称轴x＝﹣1对称，且x＝0时y＞0，可判断②；根据x＝1时，y＜0，且对称轴为x＝﹣1可判断③；由抛物线在x＝﹣1时有最大值，可判断④．
【解答过程】解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；c＞0，-b2a=-1＜0，即b＝2a＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
②∵抛物线对称轴为x＝﹣1，且x＝0时，y＞0，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，选项②错误；
③∵抛物线对称轴x＝﹣1，即-b2a=-1，
∴a=12b，
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c=3b2+c＜0，
故3b+2c＜0，选项③正确；
④∵由图象可知，当x＝﹣1时y取得最大值，
∵m≠﹣1，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm+b＜a，
∴m（am+b）+b＜a，选项④正确；
故选：A．
【考点3 二次函数图像上点的坐标特征】
【例3】（2021春•鼓楼区校级月考）已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【解题思路】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．
【解答过程】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝b，
∵0＜m＜n，
∴点B离对称轴最远，点A离对称轴近，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
【变式3-1】（2021•雁塔区校级模拟）若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3），且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（ ）
A．n＜-12 B．n＜-32 C．n＞12且n≠2 D．n＞-32
【解题思路】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，由题意推出二次项系数大于0，可找出函数的单调区间，再结合A、B点坐标的特点即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答过程】解：二次函数y＝ax2+2ax+3a的对称轴为直线x=-2a2a=-1，
∵点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）在二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象上，且y1＞y2＞y3，
∴a＞0，1﹣n≠﹣1，
∴二次函数图象在x＜﹣1上单调递减，在x≥﹣1上单调递增．
∵点A（n，y1），B（1﹣n，y2）都在二次函数y＝ax2+2ax+3a（a＞0）的图象上，且y1＞y2，
∴|﹣1﹣n|＞|﹣1﹣1+n|，
解得：n＞12且n≠2．
故选：C．
【变式3-2】（2021•福州模拟）已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），R（t，n），若m﹣n＞1，则t的值可以是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2
【解题思路】根据抛物线解析式求得对称轴为直线x＝﹣1，结合P、Q的坐标得出当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，得出抛物线开口向下，根据抛物线的对称性得出Q（3，m﹣1）关于对称轴的对称点是（﹣5，m﹣1），根据二次函数的性质即可判断t＞3或t＜﹣5．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），
∴对称轴为直线x=-2a2a=-1，
∵﹣1＜1＜3，且m＞m﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴Q（3，m﹣1）关于对称轴的对称点是（﹣5，m﹣1），
∵m﹣n＞1，
∴m﹣1＞n，
∴t＞3或t＜﹣5，
故t的值可以是﹣6，
故选：A．
【变式3-3】（2021春•海曙区校级期末）已知抛物线y=12x2﹣x+c经过点P（﹣3，6），点Q（m，n）在抛物线上，若点Q到y轴的距离不大于3．则n的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n≤9 B．﹣2＜n≤6 C．﹣2≤n≤6 D．0≤n≤6
【解题思路】根据待定系数法求得抛物线的解析式，把二次函数的表达式化为顶点式求得该二次函数图象的顶点坐标，由点Q到y轴的距离不大于3，可得﹣3≤m≤3，在此范围内求n即可．
【解答过程】解：把点P（﹣3，6）代入y=12x2﹣x+c中，
得：6=12×（﹣3）2﹣（﹣3）+c，
解得：c=-32，
∴该二次函数的表达式为y=12x2﹣x-32，
∵y=12x2﹣x-32=12（x﹣1）2﹣2，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），
∵点Q到y轴的距离不大于3，
∴|m|≤3，
∴﹣3≤m≤3，
∵x＝﹣3时，为y=12x2﹣x-32=12×（﹣3）2﹣（﹣3）-32=6，
x＝3时，为y=12x2﹣x-32=12×32﹣3-32=0，
又∵顶点坐标为（1，﹣2），
∴﹣3≤m≤3时，n≥﹣2，
∴﹣2≤n≤6，
故选：C．
【考点4 二次函数图象几何变换（数形结合）】
【例4】将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
【解题思路】先利用配方法将y＝x2﹣4x+a化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将y＝2代入得到一元二次方程，然后根据判别式Δ＞0列出不等式，求出a的取值范围．
【解答过程】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，
∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，
将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，
由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．
故选：D．
【变式4-1】（2020秋•吴兴区期末）如图，将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝﹣8的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据已知条件得到抛物线y＝﹣x2+x+8与x轴的解得为（0，8），根据轴对称的性质得到新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），于是得到结论．
【解答过程】解：如图，∵y＝﹣x2+x+8中，当x＝0时，y＝8，
∴抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴的解得为（0，8），
∵将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），
∴新图象与直线y＝﹣8的交点个数是4个，
故选：D．
【变式4-2】（2021•长清区一模）如图，将抛物线y＝（x﹣1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，求m的取值范围．（ ）
A．34＜m＜3 B．34＜m＜7 C．43＜m＜7 D．43＜m＜3
【解题思路】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式Δ＝0，根据这一条件可确定m的取值．
【解答过程】解：令y＝4，则4＝（x﹣1）2，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，4），
平移直线y＝﹣x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，4），
∴4＝1+m，即m＝3．
②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝（x﹣1）2 的图象有一个公共点，
∴方程﹣x+m＝x2﹣2x+1，
即x2﹣x+1﹣m＝0有两个相等实根，
∴△＝1﹣4（1﹣m）＝0，
即m=34．
由①②知若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为34＜m＜3；
故选：A．
【变式4-3】如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
【解题思路】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【解答过程】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1=-158，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜-158时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案是：﹣3＜m＜-158．
【考点5 二次函数的解析式】
【例5】（2021•杭州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）-k24，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝2x2﹣4x+2
【解题思路】抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）-k24有且只有一个公共点，也就是说方程ax2+bx+c＝k（x﹣1）-14k2只有一个解，即Δ＝0．
【解答过程】解：联立方程组y=ax2+bx+cy=k(x-1)-k24，
∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）-14k2，
整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+14k2＝0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+14k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，
可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，
故选：C．
【变式5-1】若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为 ．
【解题思路】由a，b为正整数，b＞2a，求得对称轴直线x＜﹣1，根据题意则有a-b+c=-4①a+b+c=2②，解方程组求得b，进而求得a和c，从而求得抛物线的解析式．
【解答过程】解：抛物线y＝ax2+bx+c中，a，b为正整数，c为整数，b＞2a，
∴抛物线开口向上，对称轴直线x＜﹣1，
∵当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，
∴当x＝﹣1时y＝﹣4，x＝1时y＝2，
∴a-b+c=-4①a+b+c=2②，
②﹣①得2b＝6，
∴b＝3，
∵a，b为正整数，b＞2a，
∴a＝1，
∴1+3+c＝2，解得c＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2+3x﹣2，
故答案为y＝x2+3x﹣2．
【变式5-2】（2020秋•济南期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
【解题思路】在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CD∥AB且CD＝AB＝4，且C的纵坐标与D相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出A（2，0），B（6，0），C（4，8），然后根据待定系数法即可求得抛物线解析式．
【解答过程】解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，
把A（2，0）代入得，0＝4a+8，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，
故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．
【变式5-3】（2020秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为 ．
【解题思路】设抛物线解析式后利用平行四边形的性质以及抛物线的对称轴可得出A（4，a+b+c﹣4），在利用D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）和对称轴为直线x＝4可列出方程，得到牌抛物线解析式．
【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分且O'为AC，BD的中点，
又因为B（1，m），D（7，1），
所以O'(4，m+12)，
所以抛物线对称轴为直线x＝4，
过点A作AE⊥直线x＝1于点E，
因为AE＝3，AB＝5，由勾股定理可得“BE=AB2-AE2=52-32=4，
又因为B（1，m），所以A（4，m﹣4）或（4，m+4），
因为B在抛物线上，所以B（1，a+b+c），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4），
根据抛物线经过点D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4）且对称轴为直线x＝4可列方程为：
49a+7b+c=1-b2a=416a+4b+c=a+b+c-4或49a+7b+c=1-b2a=416a+4b+c=a+b+c+4，
解得：a=49b=-329c=379或a=-49b=329c=-199．
故抛物线的解析式为：y=49x2-329x+379或y=-49x2+329x-199．
【考点6 构造二次函数解几何最值问题】
【例6】（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
【解题思路】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x-32）2+212．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答过程】解：设P（x，x2﹣2x3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2(x-32)2+212．
∴当x=32时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为212．
故答案为212．
【变式6-1】（2021春•咸安区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
【解题思路】由已知可证明△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），再证明四边形EFGH是正方形，设AE＝x，则AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，在Rt△EAH中，由勾股定理得EH2＝x2+（4﹣x）2，所以S四边形EFGH＝EH2＝2（x﹣2）2+8，可知当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
【解答过程】解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，
∵EF＝EH＝HG＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，
∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
故答案为8．
【变式6-2】（2021•苏州模拟）如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy=72，那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小值为（ ）
A．72 B．5 C．3 D．223
【解题思路】由勾股定理可得AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，由二次函数的性质可求解．
【解答过程】解：∵AC2＝AB2+BC2，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵2（x+y）﹣xy=72，
∴xy＝2（x+y）-72，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，
∴当x+y＝2时，AC有最小值为3，
故选：C．
【变式6-3】（2020秋•包河区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．22
【解题思路】作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF=12×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答过程】解：作PM⊥AD与M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF=12AF•PM，
∴S△APF=12×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
【考点7 二次函数与解不等式】
【例7】（2021春•海淀区校级期末）已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为 ．
【解题思路】利用根与系数的关系，求得b、c与a的关系，代入不等式cx2+2bx﹣a＜0中，化简求解即可．
【解答过程】解：∵函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，
∴2和6是方程ax2+2bx﹣c＝0的两个根，
∴-2ba=2+6，-ca=2×6，
∴b＝﹣4a，c＝﹣12a，
∴不等式cx2+2bx﹣a＜0化为﹣12ax2﹣8ax﹣a＜0，
∵a＞0，
∴12x2+8x+1＞0，
解得x＜-12或x＞-16，
故答案为x＜-12或x＞-16．
【变式7-1】（2021•宁波模拟）已知函数y1＝﹣x2+ax+4和y2＝﹣ax+a2，当1＜x＜2时，始终满足y1＞y2，则实数a的取值范围是 ．
【解题思路】本题可以利用作差法去比较两个函数的大小关系，利用二次函数与x轴交点坐标，当抛物线开口向下时，抛物线在两个交点坐标之间的部分大于0．列出不等式，求出解集的公共部分即可．
【解答过程】解：由题意得y1﹣y2＝﹣x2+ax+4﹣（﹣ax+a2）＝﹣x2+2ax+4﹣a2．
∴当1＜x＜2时，﹣x2+2ax+4﹣a2＞0．
∴当x＝1时，﹣1+2a+4﹣a2≥0，解得﹣1≤a≤3．
当x＝2时，﹣4+4a+4﹣a2≥0，解得0≤a≤4．
∴0≤a≤3．
故答案为：0≤a≤3．
【变式7-2】（2021•江岸区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣1，0）．下列四个结论：
①方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3；
②3a+c＝0；
③对于任意实数t，总有at2+bt≥a+b；
④不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣k≥0（k为常数）的解集为x＜﹣1或x＞3+ka．
其中正确的结论是 （填写序号）．
【解题思路】由抛物线与x轴的交点关于对称轴对称可以判断①；根据x＝﹣1时y＝0和对称轴等于1即可判断②；由抛物线开口向上，抛物线在顶点处去的最小值a+b+c，再由抛物线的性质对于任意t都有at2+bt+c≥a+b+c恒成立，即可判断③；设y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣k，由②得c＝﹣3a，b＝﹣2a，即y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k，再由当x＝﹣1时，y＝0，对称轴，可求出y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k与x轴的另一交点，然后分情况讨论即可判断④．
【解答过程】解：∵抛钱与x轴交于点（﹣1，0），且抛物线的对称轴：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解即为抛物线与x轴交点的横坐标：x1＝﹣1，x2＝3，
故①正确；
将（﹣1，0）代入抛物线得：a﹣b+c＝0，
又∵抛物线的对称轴x=-b2a=1，即：2a+b＝0，
∴3a+c＝0，
故②正确；
∵抛物线的对称轴x＝1，且a＞0，抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为a+b+c，
∴对任意t，at2+bt+c≥a+b+c，
即at2+bt≥a+b，
故③正确；
由②可知：c＝﹣3a，b＝﹣2a，
∴y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k，
对称轴x=--(2a+k)2a=1+k2a，
当x＝﹣1时，y＝0，
设y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k与x轴另一交点横坐标为t，
则t-12=1+k2a，
得：t＝3+ka，
当3+ka＜-1，即k＜﹣4a时，
ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≤3+ka或x≥﹣1，
当k≥﹣4a时，ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≥3+ka或x≤﹣1，
故④错误．
故答案为：①②③．
【变式7-3】（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若1a＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】①当a＝0时，函数图象与x轴只有一个交点；②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；③分a＞0与a＜0两种情况讨论；④当a＜0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，此时ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
【解答过程】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，此时函数图象与x轴交点为（1，0），故①错误；
②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；
当a≠0时，ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1）＝0，
解得x＝1或x=1a，
故②正确；
③当a＞0时，函数图象开口向上，若1a＜x＜1，则y＜0；
当a＜0时，函数图象开口向下，若1a＜x＜1，则y＞0；
故③错误；
④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，
此时ax2﹣（a+1）x+1≤0函数与x至少有一个交点，
不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；
当a＝0时，﹣x+1≤0，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；
故④正确；
故选：C．
【考点8 二次函数与一元二次方程】
【例8】（2021•越秀区一模）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
【解题思路】令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，当p＝0时，得到方程的两根，分当p≠0时，当p＝﹣1时，当p＝3时，得y的函数式，根据题意画出图象，继而得到问题的答案．
【解答过程】解：令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，
当p＝0时，y＝（x+1）（3﹣x）＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3；
当p≠0时，p2＞0，
当p＝﹣1时，y＝p2；
当p＝3时，y＝p2；
如图所示：
y＝3x+3﹣x2﹣x+p2＝﹣x2+2x+3+p2，
∴x1≤﹣1＜3≤x2．
故选：B．
【变式8-1】（2021•宁波模拟）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4
【解题思路】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解．
【解答过程】解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【变式8-2】（2021•朝阳区模拟）已知关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜2＜x2，则实数m的取值范围为 ．
【解题思路】根据关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可以得到m的取值范围，再根据x1＜2＜x2和一元二次方程和二次函数的关系，可以利用分类讨论的方法求出m的取值范围，本题得以解决．
【解答过程】解：∵关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴m≠0(-2)2-4m⋅5m＞0，
解得，-55＜m＜0或0＜m＜55，
∵x1＜2＜x2，
∴当-55＜m＜0时，m×22+2×2+5m＞0，
解得-49＜m＜0；
当0＜m＜55时，m×22+2×2+5m＜0，
解得m无解；
故答案为：-49＜m＜0．
【变式8-3】（2021春•鼓楼区校级月考）“若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，则一元二次方程a2+bx+c＝0有两个不等实根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若d、e（d＜e）是关于x的方程1+（x﹣f）（x﹣g）＝0的两根，且f＜g，则d、e、f、g的大小关系是 ．
【解题思路】由d、e（d＜e）是关于x的方程1+（x﹣f）（x﹣g）＝0的两根可得出二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）+1的图象与x轴交于点（d，0）、（e，0），将y＝（x﹣f）（x﹣g）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出d、e、f、g的大小关系．
【解答过程】解：∵d、e（d＜e）是关于x的方程1+（x﹣f）（x﹣g）＝0的两根，
∴二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）+1的图象与x轴交于点（d，0）、（e，0），
∴将y＝（x﹣f）（x﹣g）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）的图象，
二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）的图象与x轴交于点（f，0）、（g，0）．
画出两函数图象，
观察函数图象可知：f＜d＜e＜g．
故答案为：f＜d＜e＜g．
【考点9 二次函数的实际应用】
【例9】（2021春•岳麓区校级期末）近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施．某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣10x+40，普通医用口罩每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣10z+66．药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率=销售单价-进价进价）．
（1）求两种口罩的进价；
（2）市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？
（3）在（2）的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值．
【解题思路】（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元，根据“用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元”列方程解答即可；
（2）根据KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%列出不等式组求解即可；
（3）根据单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，求出z＝x﹣0.4，再根据口罩每天销售总利润和为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可．
【解答过程】解：（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元，
由题意得：1000a+1000（a﹣0.4）＝1200，
解得：a＝0.8，
则a﹣0.4＝0.4（元），
答：KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；
（2）由题意得：0.5≤x-0.80.8≤1，
解得：1.2≤x≤1.6，
答：药店KN95口罩的销售单价范围为1.2≤x≤1.6；
（3）∵单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同，
∴z﹣0.4＝x﹣0.8
解得：z＝x﹣0.4，
设两种口罩每天销售总利润和为w元，
根据题意，得：w＝（−10x+40）（x−0.8）+（−10z+66）（z−0.4）
＝（−10x+40）（x−0.8）+[﹣10（x﹣0.4）+66]（x﹣0.4﹣0.4）
＝（−10x+40）（x−0.8）+（﹣10x+70）（x﹣0.8）
＝−20x2+126x−88，
对称轴x=1262×20=3.15，w的图像关于x＝3.15对称，
又∵﹣20＜0，w的开口方向向下，
∴当1.2≤x≤1.6，w随x的增大而增大，
∴当x＝1.6时，w最大＝﹣20×(85)2+126×85-88＝62.4（元）．
答：两种口罩每天销售总利润和的最大值为62.4元．
【变式9-1】（2021春•花山区校级月考）某水产养殖户，一次性收购了20000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（kg），销售单价y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为m=20000(0≤t≤50)100t+15000(50＜t≤100)，y与t的函数关系如图所示．
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）
【解题思路】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；
②就以上两种情况，根据“利润＝销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．
【解答过程】解：（1）由题意，得：
10a+b=30.420a+b=30.8，
解得：a=0.04b=30，
答：a的值为0.04，b的值为30；
（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y＝k1t+n1，
将（0，15）、（50，25）代入，得：
n1=1550k1+n1=25，
解得：k1=15n1=15，
∴y与t的函数解析式为y=15t+15；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y＝k2t+n2，
将点（50，25）、（100，20）代入，得：
50k2+n2=25100k2+n2=20，
解得：k2=-110n2=30，
∴y与t的函数解析式为y=-110t+30，
综上，y=15t+15(0≤t≤50)-110t+30(50＜t≤100)；
②由题意，当0≤t≤50时，
W＝20000（15t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，
∵3600＞0，
∴当t＝50时，W最大值＝180000（元）；
当50＜t≤100时，W＝（100t+15000）（-110t+30）﹣（400t+300000）
＝﹣10t2+1100t+150000
＝﹣10（t﹣55）2+180250，
∵﹣10＜0，
∴当t＝55时，W最大值＝180250（元），
综上所述，t＝55时，W最大，最大值为180250元．
【变式9-2】任意球是足球比赛的主要得分手段之一．在某次足球赛中，甲球员站在点O处发出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣12）2+h，已知防守队员组成的人墙与O点的水平距离为9m，防守队员跃起后的高度为2.1m，对方球门与O点的水平距离为18m，球门高是2.43m．（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）
（1）当h＝3时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当h＝3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞（球从球门的上方飞过）？请说明理由．
（3）若甲球员发出的任意球直接射进对方球门得分，求h的取值范围．
【解题思路】（1）当h＝3时，y＝a（x﹣12）2+3，根据函数图象过原点，求出a的值即可；
（2）当h＝3时，由（1）中解析式，分别把x＝9和x＝18代入函数解析式求出y的值与2.1和2.43比较即可；
（3）由抛物线过原点得到144a+h＝0①，由足球能越过人墙，得9a+h＞2.1②，由足球能直接射进球门，得0＜36a+h＜2.43③，然后解①②③不等式即可．
【解答过程】解：（1）当h＝3时，y＝a（x﹣12）2+3，
∵抛物线y＝a（x﹣12）2+3经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣12）2+3，
解得：a=-148，
∴y与x的关系式y=-148（x﹣12）2+3；
（2）当h＝3时，足球能越过人墙，足球会不会踢飞，理由如下：
当h＝3时，由（1）得y=-148（x﹣12）2+3，
当x＝9时，y=-148(9-12)2+3≈2.81＞2.1，
∴足球能过人墙，
当x＝18时，y=-148(18-12)2+3=2.25＜2.43，
∴足球能直接射进球门；
（3）由题设知y＝a（x﹣12）2+h，函数图象过点（0，0），
得0＝a（0﹣12）2+h，即144a+h＝0①，
由足球能越过人墙，得9a+h＞2.1②，
由足球能直接射进球门，得0＜36a+h＜2.43③，
由①得a=-h144④，
把④代入②得9×（-h144）+h＞2.1，
解得h＞2.24，
把④代入③得0＜36×（-h144）+h＜2.43，
解得0＜h＜3.24，
∴h的取值范围是2.24＜h＜3.24．
【变式9-3】（2020秋•黄岛区期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【解题思路】（1）根据图象的顶点坐标先把函数解析书设为顶点式，再把原点坐标代入解析式求出a即可；
（2）根据隧道隧道是双向车道，把x＝6﹣0.5﹣3.5代入（1）中解析式求出y的值与4进行比较即可；
（3）设点M的坐标为（m，-16(x-6)2+6），从而求出OB，AB的长度，再根据二次函数的对称性求出CM，BC的长度，则AB，AD，DC的长度之和是关于m的二次函数，再根据函数的性质求最值．
【解答过程】解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，
解得：a=-16，
即所求抛物线的解析式为：y=-16(x-6)2+6（0≤x≤12）；
（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，
y=-16(2-6)2+6=103＜4，
∴这辆货车不能安全通过；
（3）设A点的坐标为(m，-16(m-6)2+6)，
则OB＝m，AB=-16(m-6)2+6，
根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，
∴BC＝12﹣2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12﹣2m，CD=AB=-16(m-6)2+6，
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：l=12-2m-16(m-6)2+6-16(m-6)2+6=-13m2+2m+12=-13(m-3)2+15，
∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．
【考点10 二次函数的综合应用】
【例10】（2020秋•曲靖期末）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交点于点C（0，3），对称轴为直线x=-32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并直接写出|NP﹣BP|的最大值．
【解题思路】（1）根据题意将A、C两点坐标以及对称轴直线代入即可求出该抛物线的解析式；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
【解答过程】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，
依题意得：16a-4b+c=0c=3-b2a=-32，
解得：a=-34b=-94c=3，
∴抛线物解析式为：y=-34x2-94x+3；
（2）如图所示：
A（﹣4，0）关于直线x=-32的对称点B（1，0），
过N作NQ⊥x轴于点Q，由旋转性质得MB⊥x轴，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），
∵∠OBC+∠QBN＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴k+b=04k+b=1，
解得：k=13b=-13，
∴直线NB的解析式为：y=13x-13，
当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=32+12=10，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛线的交点．
解方程组：y=13x-13y=-34x2-94x+3，
得：x1=1y1=0或x2=-409y2=-4927，
∴当P的坐标为（1，0）或(-409，-4927)时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为10．
【变式10-1】（2020秋•綦江区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+22QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，将点的坐标代入求解可得答案；
（2）作PD垂直于x轴交BC于D，得直线BC的解析式设P（x，x2﹣4x+3），D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），则PD＝﹣x2+3x，S△PBC=12×PD×OB，S△PBC=12（﹣x2+3x）×3，列出关于x的二次函数，根据二次函数的最值问题可得答案；
（3）存在，如图，作直线CF交x轴于F，使∠OCF＝45°，若点Q为线段OC上一动点，过Q作QE⊥CF于点E，连接AQ，得EQ=22QC，过A作AH⊥CF于点H，则AQ+EQ即AQ+22QC最小，即可得到答案．
【解答过程】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣1），
∴y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵点C（0，3）在抛物线上，
∴3＝a（0﹣2）2﹣1，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图，作PD垂直于x轴交BC于D，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∴点B的坐标为（3，0），则OB＝3，
∵点C（0，3）．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（x，x2﹣4x+3），D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），
则PD＝﹣x2+3x，S△PBC=12×PD×OB，S△PBC=12（﹣x2+3x）×3，
整理得，S△PBC=-32（x-32）2+278（0＜x＜3），
∵-32＜0，
∴当x=32时，S△PBC有最大值，则P点的坐标为（32，-34）．
（3）存在，如图，作直线CF交x轴于F，使∠OCF＝45°，
若点Q为线段OC上一动点，过Q作QE⊥CF于点E，连接AQ，
∵∠OCF＝45°，
∴EQ＝sin45°QC，
∴EQ=22QC，
∴AQ+22QC＝AQ+EQ，
过A作AH⊥CF于点H，则AQ+EQ即AQ+22QC最小，
∵OA＝1，OC＝3，∠OCF＝45°，
∴OC＝OF＝3，∠CFO＝45°，
∴AF＝OF+OA＝1+3＝4，
∴AH＝sin45°AF，
∴AH＝22，
所求最小值为22．
【变式10-2】（2021春•铜梁区校级期末）如图1，在直角坐标系中，抛物线C1：y=-12x2+54x+3与x轴交于A、B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC解析式；
（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求线段PE的最大值及此时的点P的坐标；
（3）点M是直线BC上的动点，点N是抛物线C1上的动点，是否存在以点O、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）当y＝0时，-12x2+54x+3＝0，解得x1＝4，x2=-32，则A（-32，0），B（4，0），当x＝0时，y＝3，则C（0，3），利用待定系数法求直线BC的函数解析式；
（2）设点P（m，-12m2+54m+3），表示出点E的坐标，从而用m的代数式表示出PE的长，利用二次函数求出PE的最大值即可；
（3）当OC为边时，则MN∥OC，MN＝OC＝3，设M（t，-34t+3），则N（t，-12t2+54t+3 ），可得|-34t+3﹣（-12t2+54t+3 ）|＝3；当OC为对角线时，设M（t，-34t+3），由M点平移到点C，点O平移到点N可知：N（﹣t，34t+1 ），则-12t2-54t+3=34t+1，分别解方程即可．
【解答过程】解：（1）∵抛物线C1：y=-12x2+54x+3与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，-12x2+54x+3＝0，解得x1＝4，x2=-32，
∴A（-32，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的函数解析式为：y＝kx+b，
4k+b=0b=3，
解得k=-34b=3，
∴直线BC的函数解析式为：y=-34x+3；
（2）设点P（m，-12m2+54m+3），
∵PE∥x轴，
∴点E的纵坐标为-12m2+54m+3，
∵点E在直线BC上，
∴点E的横坐标为23m2-53m，
∴PE＝m﹣（23m2-53m）=-23m2+83m，
当m=-832×(-23)=2时，PE最大值为-23×22+83×2=83，
此时点P（2，72）；
（3）当OC为边时，如图，则MN∥OC，MN＝OC＝3，
设M（t，-34t+3），则N（t，-12t2+54t+3 ），
∴|-34t+3﹣（-12t2+54t+3 ）|＝3，
∴|12t2-2t|＝3，
∴12t2-2t=3或12t2-2t=-3．
解得t1＝2+10，t2＝2-10，
∴点M（2+10，32-3410）或（2-10，32+3410），
当OC为对角线时，
设M（t，-34t+3），由M点平移到点C，点O平移到点N可知：N（﹣t，34t+1 ），
∴-12t2-54t+3=34t+1，
∴t2+4t﹣4＝0，
解得t＝﹣2±22，
∴点M（﹣2+22，92-322）或（﹣2﹣22，92+322），
综上所述：点M（2+10，32-3410）或（2-10，32+3410）或（﹣2+22，92-322）或（﹣2﹣22，92+322）．
【变式10-3】（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2+4x+5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH=PQ2，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x+5，设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），PQ＝﹣（m-52）2+254，故当m=52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，354）；
（3）抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则s+02=2+52-s2+4s+5+52=t+02，解得M（7，﹣16）．
【解答过程】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
0=-1-b+c5=c，解得b=4c=5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH=PQ2，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），
∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-52）2+254，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m=52时，PQ最大为254，
∴m=52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，354）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：
∴s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，解得s=3t=-3，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：
∴s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得s=-3t=-21，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：
s+02=2+52-s2+4s+5+52=t+02，解得s=7t=-11，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
专题2.12 二次函数章末重难点突破
【北师大版】
【考点1 二次函数的概念】
【例1】（2020秋•涟源市期末）当函数y=(a-1)xa2+1+2x+3是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a＝﹣1
【解题思路】根据二次函数的定义列出不等式和方程，解方程和不等式得到答案．
【解答过程】解：∵y＝（a﹣1）xa2+1+2x+3是二次函数，
∴a﹣1≠0，a2+1＝2，
解得，a＝﹣1，
故选：D．
【变式1-1】（2020秋•郫都区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【解题思路】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答过程】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：A．
【变式1-2】下列各式：①y=3x2+2x﹣5；②y＝﹣5+8x﹣3x2；③y＝ax2+bx+c；④y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2；⑤y＝mx2+x；⑥y＝bx2+1；⑦y＝x2+kx+20，其中y是x的二次函数有 （填序号）．
【解题思路】分别利用二次函数的定义分析得出即可．
【解答过程】解：①y=3x2+2x﹣5，是二次函数；
②y＝﹣5+8x﹣3x2，是二次函数；
③y＝ax2+bx+c，a≠0时是二次函数，故原函数不是二次函数；
④y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2＝﹣x﹣6，故不是二次函数；
⑤y＝mx2+x，m≠0时是二次函数，故原函数不是二次函数；
⑥y＝bx2+1，b≠0时是二次函数，故原函数不是二次函数；
⑦y＝x2+kx+20，是二次函数；
其中y是x的二次函数有①②⑦．
故答案为：①②⑦．
【变式1-3】函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝ 时，它为正比例函数；当m＝ 时，它为一次函数；当m 时，它为二次函数．
【解题思路】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．
【解答过程】解：m2﹣3m+2＝0，
则（m﹣1）（m﹣2）＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；
故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2
【考点2 二次函数图象的综合】
【例2】（2020秋•河东区期中）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝a（x﹣1）（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答过程】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=--22a＞0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=--22a＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
【变式2-1】（2020秋•包河区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意得到a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，即可得到抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x=-b2c＜0，交y轴正半轴，经过点（﹣1，0），据此即可判断．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，
∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，
∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x=-b2c＜0，交y轴正半轴，
当x＝﹣1时，y＝c﹣b+a＝0，
∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1，0），
故选：B．
【变式2-2】（2020秋•东营区期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤（a+c）2＜b2．其中结论正确的为（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵-b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝﹣1时，y＞0，即：a﹣b+c＞0．
当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0
两式相乘得（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2．故⑤正确．
故选：C．
【变式2-3】（2020秋•鹿邑县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，现有以下结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论序号为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【解题思路】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断①；根据x＝0与x＝﹣2关于对称轴x＝﹣1对称，且x＝0时y＞0，可判断②；根据x＝1时，y＜0，且对称轴为x＝﹣1可判断③；由抛物线在x＝﹣1时有最大值，可判断④．
【解答过程】解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；c＞0，-b2a=-1＜0，即b＝2a＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
②∵抛物线对称轴为x＝﹣1，且x＝0时，y＞0，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，选项②错误；
③∵抛物线对称轴x＝﹣1，即-b2a=-1，
∴a=12b，
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c=3b2+c＜0，
故3b+2c＜0，选项③正确；
④∵由图象可知，当x＝﹣1时y取得最大值，
∵m≠﹣1，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm+b＜a，
∴m（am+b）+b＜a，选项④正确；
故选：A．
【考点3 二次函数图像上点的坐标特征】
【例3】（2021春•鼓楼区校级月考）已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【解题思路】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．
【解答过程】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝b，
∵0＜m＜n，
∴点B离对称轴最远，点A离对称轴近，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
【变式3-1】（2021•雁塔区校级模拟）若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3），且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（ ）
A．n＜-12 B．n＜-32 C．n＞12且n≠2 D．n＞-32
【解题思路】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，由题意推出二次项系数大于0，可找出函数的单调区间，再结合A、B点坐标的特点即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答过程】解：二次函数y＝ax2+2ax+3a的对称轴为直线x=-2a2a=-1，
∵点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）在二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象上，且y1＞y2＞y3，
∴a＞0，1﹣n≠﹣1，
∴二次函数图象在x＜﹣1上单调递减，在x≥﹣1上单调递增．
∵点A（n，y1），B（1﹣n，y2）都在二次函数y＝ax2+2ax+3a（a＞0）的图象上，且y1＞y2，
∴|﹣1﹣n|＞|﹣1﹣1+n|，
解得：n＞12且n≠2．
故选：C．
【变式3-2】（2021•福州模拟）已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），R（t，n），若m﹣n＞1，则t的值可以是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2
【解题思路】根据抛物线解析式求得对称轴为直线x＝﹣1，结合P、Q的坐标得出当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，得出抛物线开口向下，根据抛物线的对称性得出Q（3，m﹣1）关于对称轴的对称点是（﹣5，m﹣1），根据二次函数的性质即可判断t＞3或t＜﹣5．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），
∴对称轴为直线x=-2a2a=-1，
∵﹣1＜1＜3，且m＞m﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴Q（3，m﹣1）关于对称轴的对称点是（﹣5，m﹣1），
∵m﹣n＞1，
∴m﹣1＞n，
∴t＞3或t＜﹣5，
故t的值可以是﹣6，
故选：A．
【变式3-3】（2021春•海曙区校级期末）已知抛物线y=12x2﹣x+c经过点P（﹣3，6），点Q（m，n）在抛物线上，若点Q到y轴的距离不大于3．则n的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n≤9 B．﹣2＜n≤6 C．﹣2≤n≤6 D．0≤n≤6
【解题思路】根据待定系数法求得抛物线的解析式，把二次函数的表达式化为顶点式求得该二次函数图象的顶点坐标，由点Q到y轴的距离不大于3，可得﹣3≤m≤3，在此范围内求n即可．
【解答过程】解：把点P（﹣3，6）代入y=12x2﹣x+c中，
得：6=12×（﹣3）2﹣（﹣3）+c，
解得：c=-32，
∴该二次函数的表达式为y=12x2﹣x-32，
∵y=12x2﹣x-32=12（x﹣1）2﹣2，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），
∵点Q到y轴的距离不大于3，
∴|m|≤3，
∴﹣3≤m≤3，
∵x＝﹣3时，为y=12x2﹣x-32=12×（﹣3）2﹣（﹣3）-32=6，
x＝3时，为y=12x2﹣x-32=12×32﹣3-32=0，
又∵顶点坐标为（1，﹣2），
∴﹣3≤m≤3时，n≥﹣2，
∴﹣2≤n≤6，
故选：C．
【考点4 二次函数图象几何变换（数形结合）】
【例4】将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
【解题思路】先利用配方法将y＝x2﹣4x+a化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将y＝2代入得到一元二次方程，然后根据判别式Δ＞0列出不等式，求出a的取值范围．
【解答过程】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，
∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，
将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，
由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．
故选：D．
【变式4-1】（2020秋•吴兴区期末）如图，将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝﹣8的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据已知条件得到抛物线y＝﹣x2+x+8与x轴的解得为（0，8），根据轴对称的性质得到新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），于是得到结论．
【解答过程】解：如图，∵y＝﹣x2+x+8中，当x＝0时，y＝8，
∴抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴的解得为（0，8），
∵将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），
∴新图象与直线y＝﹣8的交点个数是4个，
故选：D．
【变式4-2】（2021•长清区一模）如图，将抛物线y＝（x﹣1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，求m的取值范围．（ ）
A．34＜m＜3 B．34＜m＜7 C．43＜m＜7 D．43＜m＜3
【解题思路】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式Δ＝0，根据这一条件可确定m的取值．
【解答过程】解：令y＝4，则4＝（x﹣1）2，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，4），
平移直线y＝﹣x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，4），
∴4＝1+m，即m＝3．
②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝（x﹣1）2 的图象有一个公共点，
∴方程﹣x+m＝x2﹣2x+1，
即x2﹣x+1﹣m＝0有两个相等实根，
∴△＝1﹣4（1﹣m）＝0，
即m=34．
由①②知若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为34＜m＜3；
故选：A．
【变式4-3】如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
【解题思路】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【解答过程】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1=-158，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜-158时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案是：﹣3＜m＜-158．
【考点5 二次函数的解析式】
【例5】（2021•杭州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）-k24，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝2x2﹣4x+2
【解题思路】抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）-k24有且只有一个公共点，也就是说方程ax2+bx+c＝k（x﹣1）-14k2只有一个解，即Δ＝0．
【解答过程】解：联立方程组y=ax2+bx+cy=k(x-1)-k24，
∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）-14k2，
整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+14k2＝0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+14k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，
可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，
故选：C．
【变式5-1】若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为 ．
【解题思路】由a，b为正整数，b＞2a，求得对称轴直线x＜﹣1，根据题意则有a-b+c=-4①a+b+c=2②，解方程组求得b，进而求得a和c，从而求得抛物线的解析式．
【解答过程】解：抛物线y＝ax2+bx+c中，a，b为正整数，c为整数，b＞2a，
∴抛物线开口向上，对称轴直线x＜﹣1，
∵当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，
∴当x＝﹣1时y＝﹣4，x＝1时y＝2，
∴a-b+c=-4①a+b+c=2②，
②﹣①得2b＝6，
∴b＝3，
∵a，b为正整数，b＞2a，
∴a＝1，
∴1+3+c＝2，解得c＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2+3x﹣2，
故答案为y＝x2+3x﹣2．
【变式5-2】（2020秋•济南期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
【解题思路】在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CD∥AB且CD＝AB＝4，且C的纵坐标与D相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出A（2，0），B（6，0），C（4，8），然后根据待定系数法即可求得抛物线解析式．
【解答过程】解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，
把A（2，0）代入得，0＝4a+8，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，
故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．
【变式5-3】（2020秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为 ．
【解题思路】设抛物线解析式后利用平行四边形的性质以及抛物线的对称轴可得出A（4，a+b+c﹣4），在利用D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）和对称轴为直线x＝4可列出方程，得到牌抛物线解析式．
【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分且O'为AC，BD的中点，
又因为B（1，m），D（7，1），
所以O'(4，m+12)，
所以抛物线对称轴为直线x＝4，
过点A作AE⊥直线x＝1于点E，
因为AE＝3，AB＝5，由勾股定理可得“BE=AB2-AE2=52-32=4，
又因为B（1，m），所以A（4，m﹣4）或（4，m+4），
因为B在抛物线上，所以B（1，a+b+c），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4），
根据抛物线经过点D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4）且对称轴为直线x＝4可列方程为：
49a+7b+c=1-b2a=416a+4b+c=a+b+c-4或49a+7b+c=1-b2a=416a+4b+c=a+b+c+4，
解得：a=49b=-329c=379或a=-49b=329c=-199．
故抛物线的解析式为：y=49x2-329x+379或y=-49x2+329x-199．
【考点6 构造二次函数解几何最值问题】
【例6】（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
【解题思路】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x-32）2+212．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答过程】解：设P（x，x2﹣2x3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2(x-32)2+212．
∴当x=32时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为212．
故答案为212．
【变式6-1】（2021春•咸安区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为 ．
【解题思路】由已知可证明△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），再证明四边形EFGH是正方形，设AE＝x，则AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，在Rt△EAH中，由勾股定理得EH2＝x2+（4﹣x）2，所以S四边形EFGH＝EH2＝2（x﹣2）2+8，可知当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
【解答过程】解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵正方形ABCD，边长为4，
∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，
∵EF＝EH＝HG＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，
∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，
故答案为8．
【变式6-2】（2021•苏州模拟）如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy=72，那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小值为（ ）
A．72 B．5 C．3 D．223
【解题思路】由勾股定理可得AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，由二次函数的性质可求解．
【解答过程】解：∵AC2＝AB2+BC2，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵2（x+y）﹣xy=72，
∴xy＝2（x+y）-72，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，
∴当x+y＝2时，AC有最小值为3，
故选：C．
【变式6-3】（2020秋•包河区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．22
【解题思路】作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF=12×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答过程】解：作PM⊥AD与M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF=12AF•PM，
∴S△APF=12×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
【考点7 二次函数与解不等式】
【例7】（2021春•海淀区校级期末）已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为 ．
【解题思路】利用根与系数的关系，求得b、c与a的关系，代入不等式cx2+2bx﹣a＜0中，化简求解即可．
【解答过程】解：∵函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，
∴2和6是方程ax2+2bx﹣c＝0的两个根，
∴-2ba=2+6，-ca=2×6，
∴b＝﹣4a，c＝﹣12a，
∴不等式cx2+2bx﹣a＜0化为﹣12ax2﹣8ax﹣a＜0，
∵a＞0，
∴12x2+8x+1＞0，
解得x＜-12或x＞-16，
故答案为x＜-12或x＞-16．
【变式7-1】（2021•宁波模拟）已知函数y1＝﹣x2+ax+4和y2＝﹣ax+a2，当1＜x＜2时，始终满足y1＞y2，则实数a的取值范围是 ．
【解题思路】本题可以利用作差法去比较两个函数的大小关系，利用二次函数与x轴交点坐标，当抛物线开口向下时，抛物线在两个交点坐标之间的部分大于0．列出不等式，求出解集的公共部分即可．
【解答过程】解：由题意得y1﹣y2＝﹣x2+ax+4﹣（﹣ax+a2）＝﹣x2+2ax+4﹣a2．
∴当1＜x＜2时，﹣x2+2ax+4﹣a2＞0．
∴当x＝1时，﹣1+2a+4﹣a2≥0，解得﹣1≤a≤3．
当x＝2时，﹣4+4a+4﹣a2≥0，解得0≤a≤4．
∴0≤a≤3．
故答案为：0≤a≤3．
【变式7-2】（2021•江岸区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣1，0）．下列四个结论：
①方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3；
②3a+c＝0；
③对于任意实数t，总有at2+bt≥a+b；
④不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣k≥0（k为常数）的解集为x＜﹣1或x＞3+ka．
其中正确的结论是 （填写序号）．
【解题思路】由抛物线与x轴的交点关于对称轴对称可以判断①；根据x＝﹣1时y＝0和对称轴等于1即可判断②；由抛物线开口向上，抛物线在顶点处去的最小值a+b+c，再由抛物线的性质对于任意t都有at2+bt+c≥a+b+c恒成立，即可判断③；设y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣k，由②得c＝﹣3a，b＝﹣2a，即y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k，再由当x＝﹣1时，y＝0，对称轴，可求出y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k与x轴的另一交点，然后分情况讨论即可判断④．
【解答过程】解：∵抛钱与x轴交于点（﹣1，0），且抛物线的对称轴：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解即为抛物线与x轴交点的横坐标：x1＝﹣1，x2＝3，
故①正确；
将（﹣1，0）代入抛物线得：a﹣b+c＝0，
又∵抛物线的对称轴x=-b2a=1，即：2a+b＝0，
∴3a+c＝0，
故②正确；
∵抛物线的对称轴x＝1，且a＞0，抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为a+b+c，
∴对任意t，at2+bt+c≥a+b+c，
即at2+bt≥a+b，
故③正确；
由②可知：c＝﹣3a，b＝﹣2a，
∴y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k，
对称轴x=--(2a+k)2a=1+k2a，
当x＝﹣1时，y＝0，
设y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k与x轴另一交点横坐标为t，
则t-12=1+k2a，
得：t＝3+ka，
当3+ka＜-1，即k＜﹣4a时，
ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≤3+ka或x≥﹣1，
当k≥﹣4a时，ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≥3+ka或x≤﹣1，
故④错误．
故答案为：①②③．
【变式7-3】（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若1a＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】①当a＝0时，函数图象与x轴只有一个交点；②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；③分a＞0与a＜0两种情况讨论；④当a＜0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，此时ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
【解答过程】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，此时函数图象与x轴交点为（1，0），故①错误；
②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；
当a≠0时，ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1）＝0，
解得x＝1或x=1a，
故②正确；
③当a＞0时，函数图象开口向上，若1a＜x＜1，则y＜0；
当a＜0时，函数图象开口向下，若1a＜x＜1，则y＞0；
故③错误；
④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，
此时ax2﹣（a+1）x+1≤0函数与x至少有一个交点，
不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；
当a＝0时，﹣x+1≤0，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；
故④正确；
故选：C．
【考点8 二次函数与一元二次方程】
【例8】（2021•越秀区一模）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
【解题思路】令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，当p＝0时，得到方程的两根，分当p≠0时，当p＝﹣1时，当p＝3时，得y的函数式，根据题意画出图象，继而得到问题的答案．
【解答过程】解：令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，
当p＝0时，y＝（x+1）（3﹣x）＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3；
当p≠0时，p2＞0，
当p＝﹣1时，y＝p2；
当p＝3时，y＝p2；
如图所示：
y＝3x+3﹣x2﹣x+p2＝﹣x2+2x+3+p2，
∴x1≤﹣1＜3≤x2．
故选：B．
【变式8-1】（2021•宁波模拟）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4
【解题思路】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解．
【解答过程】解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【变式8-2】（2021•朝阳区模拟）已知关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜2＜x2，则实数m的取值范围为 ．
【解题思路】根据关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可以得到m的取值范围，再根据x1＜2＜x2和一元二次方程和二次函数的关系，可以利用分类讨论的方法求出m的取值范围，本题得以解决．
【解答过程】解：∵关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴m≠0(-2)2-4m⋅5m＞0，
解得，-55＜m＜0或0＜m＜55，
∵x1＜2＜x2，
∴当-55＜m＜0时，m×22+2×2+5m＞0，
解得-49＜m＜0；
当0＜m＜55时，m×22+2×2+5m＜0，
解得m无解；
故答案为：-49＜m＜0．
【变式8-3】（2021春•鼓楼区校级月考）“若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，则一元二次方程a2+bx+c＝0有两个不等实根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若d、e（d＜e）是关于x的方程1+（x﹣f）（x﹣g）＝0的两根，且f＜g，则d、e、f、g的大小关系是 ．
【解题思路】由d、e（d＜e）是关于x的方程1+（x﹣f）（x﹣g）＝0的两根可得出二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）+1的图象与x轴交于点（d，0）、（e，0），将y＝（x﹣f）（x﹣g）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出d、e、f、g的大小关系．
【解答过程】解：∵d、e（d＜e）是关于x的方程1+（x﹣f）（x﹣g）＝0的两根，
∴二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）+1的图象与x轴交于点（d，0）、（e，0），
∴将y＝（x﹣f）（x﹣g）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）的图象，
二次函数y＝（x﹣f）（x﹣g）的图象与x轴交于点（f，0）、（g，0）．
画出两函数图象，
观察函数图象可知：f＜d＜e＜g．
故答案为：f＜d＜e＜g．
【考点9 二次函数的实际应用】
【例9】（2021春•岳麓区校级期末）近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施．某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣10x+40，普通医用口罩每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣10z+66．药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率=销售单价-进价进价）．
（1）求两种口罩的进价；
（2）市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？
（3）在（2）的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值．
【解题思路】（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元，根据“用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元”列方程解答即可；
（2）根据KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%列出不等式组求解即可；
（3）根据单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，求出z＝x﹣0.4，再根据口罩每天销售总利润和为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可．
【解答过程】解：（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元，
由题意得：1000a+1000（a﹣0.4）＝1200，
解得：a＝0.8，
则a﹣0.4＝0.4（元），
答：KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；
（2）由题意得：0.5≤x-0.80.8≤1，
解得：1.2≤x≤1.6，
答：药店KN95口罩的销售单价范围为1.2≤x≤1.6；
（3）∵单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同，
∴z﹣0.4＝x﹣0.8
解得：z＝x﹣0.4，
设两种口罩每天销售总利润和为w元，
根据题意，得：w＝（−10x+40）（x−0.8）+（−10z+66）（z−0.4）
＝（−10x+40）（x−0.8）+[﹣10（x﹣0.4）+66]（x﹣0.4﹣0.4）
＝（−10x+40）（x−0.8）+（﹣10x+70）（x﹣0.8）
＝−20x2+126x−88，
对称轴x=1262×20=3.15，w的图像关于x＝3.15对称，
又∵﹣20＜0，w的开口方向向下，
∴当1.2≤x≤1.6，w随x的增大而增大，
∴当x＝1.6时，w最大＝﹣20×(85)2+126×85-88＝62.4（元）．
答：两种口罩每天销售总利润和的最大值为62.4元．
【变式9-1】（2021春•花山区校级月考）某水产养殖户，一次性收购了20000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（kg），销售单价y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为m=20000(0≤t≤50)100t+15000(50＜t≤100)，y与t的函数关系如图所示．
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）
【解题思路】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；
②就以上两种情况，根据“利润＝销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．
【解答过程】解：（1）由题意，得：
10a+b=30.420a+b=30.8，
解得：a=0.04b=30，
答：a的值为0.04，b的值为30；
（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y＝k1t+n1，
将（0，15）、（50，25）代入，得：
n1=1550k1+n1=25，
解得：k1=15n1=15，
∴y与t的函数解析式为y=15t+15；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y＝k2t+n2，
将点（50，25）、（100，20）代入，得：
50k2+n2=25100k2+n2=20，
解得：k2=-110n2=30，
∴y与t的函数解析式为y=-110t+30，
综上，y=15t+15(0≤t≤50)-110t+30(50＜t≤100)；
②由题意，当0≤t≤50时，
W＝20000（15t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，
∵3600＞0，
∴当t＝50时，W最大值＝180000（元）；
当50＜t≤100时，W＝（100t+15000）（-110t+30）﹣（400t+300000）
＝﹣10t2+1100t+150000
＝﹣10（t﹣55）2+180250，
∵﹣10＜0，
∴当t＝55时，W最大值＝180250（元），
综上所述，t＝55时，W最大，最大值为180250元．
【变式9-2】任意球是足球比赛的主要得分手段之一．在某次足球赛中，甲球员站在点O处发出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣12）2+h，已知防守队员组成的人墙与O点的水平距离为9m，防守队员跃起后的高度为2.1m，对方球门与O点的水平距离为18m，球门高是2.43m．（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）
（1）当h＝3时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当h＝3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞（球从球门的上方飞过）？请说明理由．
（3）若甲球员发出的任意球直接射进对方球门得分，求h的取值范围．
【解题思路】（1）当h＝3时，y＝a（x﹣12）2+3，根据函数图象过原点，求出a的值即可；
（2）当h＝3时，由（1）中解析式，分别把x＝9和x＝18代入函数解析式求出y的值与2.1和2.43比较即可；
（3）由抛物线过原点得到144a+h＝0①，由足球能越过人墙，得9a+h＞2.1②，由足球能直接射进球门，得0＜36a+h＜2.43③，然后解①②③不等式即可．
【解答过程】解：（1）当h＝3时，y＝a（x﹣12）2+3，
∵抛物线y＝a（x﹣12）2+3经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣12）2+3，
解得：a=-148，
∴y与x的关系式y=-148（x﹣12）2+3；
（2）当h＝3时，足球能越过人墙，足球会不会踢飞，理由如下：
当h＝3时，由（1）得y=-148（x﹣12）2+3，
当x＝9时，y=-148(9-12)2+3≈2.81＞2.1，
∴足球能过人墙，
当x＝18时，y=-148(18-12)2+3=2.25＜2.43，
∴足球能直接射进球门；
（3）由题设知y＝a（x﹣12）2+h，函数图象过点（0，0），
得0＝a（0﹣12）2+h，即144a+h＝0①，
由足球能越过人墙，得9a+h＞2.1②，
由足球能直接射进球门，得0＜36a+h＜2.43③，
由①得a=-h144④，
把④代入②得9×（-h144）+h＞2.1，
解得h＞2.24，
把④代入③得0＜36×（-h144）+h＜2.43，
解得0＜h＜3.24，
∴h的取值范围是2.24＜h＜3.24．
【变式9-3】（2020秋•黄岛区期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【解题思路】（1）根据图象的顶点坐标先把函数解析书设为顶点式，再把原点坐标代入解析式求出a即可；
（2）根据隧道隧道是双向车道，把x＝6﹣0.5﹣3.5代入（1）中解析式求出y的值与4进行比较即可；
（3）设点M的坐标为（m，-16(x-6)2+6），从而求出OB，AB的长度，再根据二次函数的对称性求出CM，BC的长度，则AB，AD，DC的长度之和是关于m的二次函数，再根据函数的性质求最值．
【解答过程】解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，
解得：a=-16，
即所求抛物线的解析式为：y=-16(x-6)2+6（0≤x≤12）；
（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，
y=-16(2-6)2+6=103＜4，
∴这辆货车不能安全通过；
（3）设A点的坐标为(m，-16(m-6)2+6)，
则OB＝m，AB=-16(m-6)2+6，
根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，
∴BC＝12﹣2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12﹣2m，CD=AB=-16(m-6)2+6，
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：l=12-2m-16(m-6)2+6-16(m-6)2+6=-13m2+2m+12=-13(m-3)2+15，
∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．
【考点10 二次函数的综合应用】
【例10】（2020秋•曲靖期末）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交点于点C（0，3），对称轴为直线x=-32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并直接写出|NP﹣BP|的最大值．
【解题思路】（1）根据题意将A、C两点坐标以及对称轴直线代入即可求出该抛物线的解析式；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
【解答过程】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，
依题意得：16a-4b+c=0c=3-b2a=-32，
解得：a=-34b=-94c=3，
∴抛线物解析式为：y=-34x2-94x+3；
（2）如图所示：
A（﹣4，0）关于直线x=-32的对称点B（1，0），
过N作NQ⊥x轴于点Q，由旋转性质得MB⊥x轴，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），
∵∠OBC+∠QBN＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴k+b=04k+b=1，
解得：k=13b=-13，
∴直线NB的解析式为：y=13x-13，
当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=32+12=10，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛线的交点．
解方程组：y=13x-13y=-34x2-94x+3，
得：x1=1y1=0或x2=-409y2=-4927，
∴当P的坐标为（1，0）或(-409，-4927)时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为10．
【变式10-1】（2020秋•綦江区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+22QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，将点的坐标代入求解可得答案；
（2）作PD垂直于x轴交BC于D，得直线BC的解析式设P（x，x2﹣4x+3），D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），则PD＝﹣x2+3x，S△PBC=12×PD×OB，S△PBC=12（﹣x2+3x）×3，列出关于x的二次函数，根据二次函数的最值问题可得答案；
（3）存在，如图，作直线CF交x轴于F，使∠OCF＝45°，若点Q为线段OC上一动点，过Q作QE⊥CF于点E，连接AQ，得EQ=22QC，过A作AH⊥CF于点H，则AQ+EQ即AQ+22QC最小，即可得到答案．
【解答过程】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣1），
∴y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵点C（0，3）在抛物线上，
∴3＝a（0﹣2）2﹣1，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图，作PD垂直于x轴交BC于D，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∴点B的坐标为（3，0），则OB＝3，
∵点C（0，3）．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（x，x2﹣4x+3），D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），
则PD＝﹣x2+3x，S△PBC=12×PD×OB，S△PBC=12（﹣x2+3x）×3，
整理得，S△PBC=-32（x-32）2+278（0＜x＜3），
∵-32＜0，
∴当x=32时，S△PBC有最大值，则P点的坐标为（32，-34）．
（3）存在，如图，作直线CF交x轴于F，使∠OCF＝45°，
若点Q为线段OC上一动点，过Q作QE⊥CF于点E，连接AQ，
∵∠OCF＝45°，
∴EQ＝sin45°QC，
∴EQ=22QC，
∴AQ+22QC＝AQ+EQ，
过A作AH⊥CF于点H，则AQ+EQ即AQ+22QC最小，
∵OA＝1，OC＝3，∠OCF＝45°，
∴OC＝OF＝3，∠CFO＝45°，
∴AF＝OF+OA＝1+3＝4，
∴AH＝sin45°AF，
∴AH＝22，
所求最小值为22．
【变式10-2】（2021春•铜梁区校级期末）如图1，在直角坐标系中，抛物线C1：y=-12x2+54x+3与x轴交于A、B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC解析式；
（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求线段PE的最大值及此时的点P的坐标；
（3）点M是直线BC上的动点，点N是抛物线C1上的动点，是否存在以点O、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）当y＝0时，-12x2+54x+3＝0，解得x1＝4，x2=-32，则A（-32，0），B（4，0），当x＝0时，y＝3，则C（0，3），利用待定系数法求直线BC的函数解析式；
（2）设点P（m，-12m2+54m+3），表示出点E的坐标，从而用m的代数式表示出PE的长，利用二次函数求出PE的最大值即可；
（3）当OC为边时，则MN∥OC，MN＝OC＝3，设M（t，-34t+3），则N（t，-12t2+54t+3 ），可得|-34t+3﹣（-12t2+54t+3 ）|＝3；当OC为对角线时，设M（t，-34t+3），由M点平移到点C，点O平移到点N可知：N（﹣t，34t+1 ），则-12t2-54t+3=34t+1，分别解方程即可．
【解答过程】解：（1）∵抛物线C1：y=-12x2+54x+3与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，-12x2+54x+3＝0，解得x1＝4，x2=-32，
∴A（-32，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的函数解析式为：y＝kx+b，
4k+b=0b=3，
解得k=-34b=3，
∴直线BC的函数解析式为：y=-34x+3；
（2）设点P（m，-12m2+54m+3），
∵PE∥x轴，
∴点E的纵坐标为-12m2+54m+3，
∵点E在直线BC上，
∴点E的横坐标为23m2-53m，
∴PE＝m﹣（23m2-53m）=-23m2+83m，
当m=-832×(-23)=2时，PE最大值为-23×22+83×2=83，
此时点P（2，72）；
（3）当OC为边时，如图，则MN∥OC，MN＝OC＝3，
设M（t，-34t+3），则N（t，-12t2+54t+3 ），
∴|-34t+3﹣（-12t2+54t+3 ）|＝3，
∴|12t2-2t|＝3，
∴12t2-2t=3或12t2-2t=-3．
解得t1＝2+10，t2＝2-10，
∴点M（2+10，32-3410）或（2-10，32+3410），
当OC为对角线时，
设M（t，-34t+3），由M点平移到点C，点O平移到点N可知：N（﹣t，34t+1 ），
∴-12t2-54t+3=34t+1，
∴t2+4t﹣4＝0，
解得t＝﹣2±22，
∴点M（﹣2+22，92-322）或（﹣2﹣22，92+322），
综上所述：点M（2+10，32-3410）或（2-10，32+3410）或（﹣2+22，92-322）或（﹣2﹣22，92+322）．
【变式10-3】（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2+4x+5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH=PQ2，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x+5，设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），PQ＝﹣（m-52）2+254，故当m=52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，354）；
（3）抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则s+02=2+52-s2+4s+5+52=t+02，解得M（7，﹣16）．
【解答过程】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
0=-1-b+c5=c，解得b=4c=5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH=PQ2，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），
∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-52）2+254，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m=52时，PQ最大为254，
∴m=52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，354）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：
∴s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，解得s=3t=-3，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：
∴s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得s=-3t=-21，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：
s+02=2+52-s2+4s+5+52=t+02，解得s=7t=-11，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
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