初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数课后复习题

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第2章 二次函数章末测试卷（培优卷）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021春•雨山区校级月考）下列函数中，一定是二次函数是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1）
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y=1x2
【解题思路】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数逐个判断即可．
【解答过程】解：A、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、y＝x（﹣x+1）＝﹣x2+x，符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项符合题意；
C、化简后不含二次项，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）（2021春•阳信县期末）将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣4）2﹣3
【解题思路】先把抛物线y＝2x2﹣4x+1化为顶点式的形式，再根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，即可得出平移后解析式．
【解答过程】解：抛物线y＝2x2﹣4x+1可化y＝2（x﹣1）2﹣1，
将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
则平移后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1﹣2，即y＝2（x﹣4）2﹣3，
故选：D．
3．（3分）（2020秋•上虞区期末）已知二次函数y＝ax2+4x﹣c，当x＝1时，函数值是﹣5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是（　　）
A．a+c＝﹣1 B．a+c＝﹣9 C．a﹣c＝﹣9 D．a﹣c＝﹣1
【解题思路】把x，y对应的值代入二次函数解析式即可．
【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2+4x﹣c，当x＝1时，函数值是﹣5，
∴﹣5＝a+4﹣c，
即a﹣c＝﹣9，
故选：C．
4．（3分）（2020秋•云县校级期末）关于二次函数y＝2x2﹣1的说法中，不正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．图象经过点（1，1）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【解题思路】由a＝2可判断选项A；由b＝0可得对称轴为y轴，可判断选项B；把点（1，1）代入抛物线解析式可判断选项C；由对称轴及抛物线增减性可判断选项D．
【解答过程】解：∵a＝2＞0，
∴图象的开口向上，故选项A正确；
∵b＝0，
∴对称轴为y轴，故选项B不正确；
把点（1，1）代入y＝2x2﹣1，等式成立，故选项C正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D正确；
故选：B．
5．（3分）（2021春•阳信县期末）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【解题思路】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答过程】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的开口向下，对称轴是直线x=-b2a=3，
∴当x＞3时，y随x的增大减小，P1（1，y1）关于称轴是直线x＝3的对称点是（5，y1），
∵3＜4＜5，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
6．（3分）（2020秋•思明区校级月考）如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（　　）
x
1
2
3
4
y
﹣3
﹣1
3
9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
【解题思路】观察表格可得﹣1更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答过程】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
7．（3分）（2020秋•东阳市期末）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【解题思路】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
【解答过程】解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴直线是：x=6+152=10.5，
∵10.5﹣8＝2.5，10.5﹣10＝0.5，12﹣10.5＝1.5，15﹣10.5＝4.5，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大，
∴x＝10时，函数值最大，
即第10秒炮弹所在高度最高，
故选：B．
8．（3分）（2020秋•三明期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　）

A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【解题思路】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点A（4，p），B（﹣2，q），
∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
9．（3分）（2020秋•绥宁县期末）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（　　）
A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2
【解题思路】设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，则△＝62﹣4ac＝0，所以ac＝9，再把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得c＝6﹣a，然后解关于a、c的方程组即可．
【解答过程】解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3．
故选：A．
10．（3分）（2021•巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【解题思路】由表格可以得到二次函数图象经过点点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【解答过程】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），
∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，
∴二次函数的对称轴为直线x=-3+12=-1，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣2，3），（2，0）得，
a+h=39a+h=0，
解得a=-38h=278，
∴二次函数的解析式为：y=-38(x+1)2+278，
∵y=-38x2-34x+3，
∴c＝3，
∴①是错误的，
∵b2﹣4ac=916+4×38×3＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝0为-38x2-34x=0，
即为x2+2x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴③是正确的，
∵7a+c=7×(-38)+3=38＞0，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020秋•合肥期末）若y＝（2﹣a）xa2-2是二次函数，则a＝　﹣2　．
【解题思路】利用二次函数定义可得a2﹣2＝2且2﹣a≠0，再解即可．
【解答过程】解：由题意得：a2﹣2＝2且2﹣a≠0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（3分）（2020秋•鄂州期末）顶点为（3，1），形状与函数y=13x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为　y=-13x2+2x﹣2　．
【解题思路】由形状与函数y=13x2的图象相同且开口方向相反可知a=-13，把顶点（3，1）代入顶点式即可求得抛物线解析式．
【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y=13x2的图象相同且开口方向相反，
∴a=-13，
把a=-13，顶点（3，1）代入得：
y=-13（x﹣3）2+1=-13x2+2x﹣2，
故答案为：y=-13x2+2x﹣2．
13．（3分）（2020秋•巩义市期末）将二次函数y＝x2﹣4x﹣4的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的图象对应的二次函数的解析式为y＝x2+ax+b，则ab＝　﹣88　．
【解题思路】首先将原函数解析式写成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答，得出a，b的值，即可得出答案．
【解答过程】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x﹣4）2﹣8，
再向上平移3个单位为：y＝（x﹣4）2﹣5，即y＝x2﹣8x+11，
故ab＝﹣8×11＝﹣88．
故答案为：﹣88．
14．（3分）（2020秋•如皋市期末）若A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，则n＝　2016　．
【解题思路】A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，，可得A（h﹣2，n），B（h+2，n），当x＝h+2时，n＝﹣（h+2﹣h）2+2020＝2016．
【解答过程】解：∵A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，
∴h=m-2+m+22=m，
∴A（h﹣2，n），B（h+2，n），
当x＝h+2时，n＝﹣（h+2﹣h）2+2020＝2016，
故答案为2016．
15．（3分）（2020秋•高平市期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，则y＞0时，x的取值范围　x＜﹣4或x＞2　．

【解题思路】利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用函数图形写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答过程】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），
∴y＞0时，x的取值范围为x＜﹣4或x＞2．
故答案为x＜﹣4或x＞2．
16．（3分）（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　4　．
【解题思路】解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1，再确定C（0，﹣3），D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE+DE的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD的解析式为y＝x+1，则F（0，1），然后根据三角形面积公式计算．
【解答过程】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得-k+b=04k+b=5，解得k=1b=1，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），
当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF=12×4×1+12×4×1＝4．
故答案为4．

三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2019春•西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【解答过程】解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；

（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
18．（6分）（2020秋•思明区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
【解题思路】设二次函数为y＝a（x﹣1）2+1，将x＝3，y＝3代入求得a的值即可，再由函数解析式画出函数图象．
【解答过程】解：根据题意设二次函数为y＝a（x﹣1）2+1，
当x＝3时，y＝3，
∴3＝a（3﹣1）2+1，
解得a=12，
∴该二次函数的解析式为y=12（x﹣1）2+1．
列表得：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
32
1
32
3
…
如图：
．
19．（8分）（2021•盐城）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
【解题思路】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据平移规律“上加下减，左加右减”写出新抛物线解析式．
【解答过程】解：（1）将点（0，﹣3）和（3，0）分别代入y＝a（x﹣1）2+h，得
-3=a(0-1)2+h0=a(3-1)2+h．
解得a=1h=-4．
所以a＝1，h＝﹣4．
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．
20．（8分）（2020秋•安庆期末）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？

【解题思路】设猪舍的面积为ym2，矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立函数解析式求出其最值即可．
【解答过程】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m，
由题意得y＝x（27﹣2x+1）＝﹣2（x﹣7）2+98，对称轴为x＝7，
∵27﹣2x+1≤12，27﹣2x+1＞0，
∴8≤x＜14，
在y＝﹣2（x﹣7）2+98中，﹣2＜0，在对称轴右侧y随着x的增大而减小，
所以当x＝8m时，矩形猪舍的长为27﹣2x+1＝12（m），宽为8m时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．
答：矩形猪舍的长、宽分别为12m、8m时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．
21．（8分）（2021•江川区模拟）如图，已知直线y1＝kx+n与抛物线y2＝﹣x2+bx+c都经过A（4，0）和B（0，2）．
（1）求直线和抛物线解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；
（3）若直线上方的抛物线有一点C，且S△ABC＝6，求C的坐标．

【解题思路】（1）将已知两点坐标代入直线与抛物线解析式求出各字母的值，即可确定出各自的解析式；
（2）观察图象，直线y1落在抛物线y2上方的部分对应的x的取值即为所求x的取值范围；
（3）设C的坐标为（x，﹣x2+3.5x+2），根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC﹣S△AOB＝6列出方程，解方程即可．
【解答过程】解：（1）将（4，0）与（0，2）分别代入直线解析式得：4k+n=0n=2，
解得：k=-12n=2，
即直线解析式为y1=-12x+2；
将（4，0）与（0，2）分别代入抛物线解析式得：-16+4b+c=0c=2，
解得：b=3.5c=2，
即抛物线解析式为y2＝﹣x2+3.5x+2；
（2）根据两函数交点坐标为（0，2），（4，0），
由图象得：当y1＞y2时，x的取值范围为x＜0或x＞4；
（3）设C的坐标为（x，﹣x2+3.5x+2），则0＜x＜4．
∵S△ABC＝6，
∴S△AOC+S△BOC﹣S△AOB＝6，
∴12×4×（﹣x2+3.5x+2）+12×2x-12×4×2＝6，
整理得x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
当x1＝1时，﹣x2+3.5x+2＝﹣1+3.5+2＝4.5；
当x2＝3时，﹣x2+3.5x+2＝﹣9+10.5+2＝3.5；
∴C的坐标为（1，4.5）或（3，3.5）．
22．（8分）（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．

【解题思路】（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
【解答过程】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得：20k+b=1530k+b=12.5，
解得：k=-14b=20，
∴y与x之间的函数关系式为y=-14x+20；
（2）设销售收入为P（万元），
∴P＝（1﹣20%）xy=45（-14x+20）x=-15x2+16x，
∴P与x之间的函数关系式为P=-15x2+16x；
（3）设销售总利润为W（万元），
∴W＝P﹣6.2x﹣m=-15x2+16x﹣6.2x﹣（50+0.2x），
整理，可得：W=-15x2+485x﹣50，
W=-15（x﹣24）2+65.2，
∵-15＜0，
∴当x＝24时，W有最大值为65.2，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．
23．（8分）（2020秋•富平县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出M点的坐标．若不存在，请说明理由．

【解题思路】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）根据抛物线解析得对称轴，然后分三种情况：当AM是斜边时，当AN是斜边时，当MN是斜边时，由勾股定理得方程式，求解可得答案．
【解答过程】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得-1-b+c=0-4+2b+c=3，
解得b=2c=3，
故抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数表达式为y＝kx+n，将A（﹣1，0）、C（2，3）分别代入y＝kx+n中可得-k+n=02k+n=3
解得k=1n=1或k=1n=1，
故直线AC的函数表达式为y＝x+1．
（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m），
∵A（﹣1，0），M（1，m），N（0，3），
∴AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2．
当AM是斜边时，则4+m2＝10+1+（m﹣3）2，
解得m=83；

当AN是斜边时，4+m2+1+（m﹣3）2＝10，
解得：m＝1或2；

当MN是斜边时，4+m2+10＝1+（m﹣3）2，
解得：m=-23．

故点M的坐标为(1，83)或（1，1）或（1，2）或(1，-23)．