初中数学北师大版九年级下册1 二次函数综合训练题

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 二次函数综合训练题，共22页。试卷主要包含了的图象上等内容，欢迎下载使用。

第2章 二次函数章末测试卷（拔尖卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020秋•云南期末）已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
【解题思路】根据二次函数的定义和已知条件得出m+3≠0，再求出答案即可．
【解答过程】解：∵函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，
∴m+3≠0，
解得：m≠﹣3，
故选：C．
2．（3分）（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
【解题思路】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．
【解答过程】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．
故选：A．
3．（3分）（2020秋•九龙坡区期末）若点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝ax2+4ax+3（a＜0）的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m＜-32 D．m＞-32
【解题思路】先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质，当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的右侧时m﹣1≥﹣2；当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的两侧时﹣2﹣（m﹣1）＜m﹣（﹣2），然分别解两个不等式即可得到m的范围．
【解答过程】解：抛物线的对称轴为直线x=-4a2a=-2，
∵m﹣1＜m，y1＞y2，
∴当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的右侧，则m﹣1≥﹣2，解得m≥﹣1；
当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的两侧，则﹣2﹣（m﹣1）＜m﹣（﹣2），解得m＞-32；
综上所述，m的范围为m＞-32．
故选：D．
4．（3分）（2020秋•九龙坡区期末）已知实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3
【解题思路】由二次函数的性质可确定出a的范围．
【解答过程】解：∵y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1-a2，
∴当x＜1-a2时，y随x的增大而减小，
∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴1-a2≥-1，
解得a≤3，
故选：C．
5．（3分）（2020秋•蜀山区期末）已知点A（1，1）、B（3，1）、C（4，2）、D（2，2），若抛物线y＝ax2（a＞0）与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为（　　）
A．18＜a＜1 B．19＜a＜1
C．a＞1或0＜a＜18 D．a＞1或0＜a＜19
【解题思路】分别画出当抛物线y＝ax2（a＞0）过四边形ABCD的四个顶点时的图象，观察图象可得．
【解答过程】解：分别画出当抛物线y＝ax2（a＞0）过四边形ABCD的四个顶点时的图象，如图所示：

结合图形可知，当|a|越大时，抛物线开口越小，离y轴越近，当|a|越小时，抛物线开口越大，离y轴越远，
∴若抛物线y＝ax2（a＞0）与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为a＞1或0＜a＜19．
故选：D．
6．（3分）（2021•河南模拟）对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt-12gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝20m/s，则下列说法正确的是（　　）
A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点
B．当h＝25 m时，对应一个时刻点
C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点
D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点
【解题思路】把v＝20m/s，g≈10m/s2代入h＝vt-12gt2，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得函数的最大值，则问题得解．
【解答过程】解：∵h＝vt-12gt2，v＝20m/s，g≈10m/s2，
∴h＝20t﹣5t2
＝﹣5（t2﹣4t）
＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2s时，h有最大值为20m，即物体能达到的最大高度为20m，且h＝20m时，只有一个时刻，
∴A、B、D均不正确．
∵h＝20t﹣5t2为开口向下的二次函数，h有最大值为20m，
∴当h＝15m时，对应两个不同的时刻点．
∴C正确．
故选：C．
7．（3分）（2020秋•思明区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（　　）的图象上．
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x+1
【解题思路】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），也可以得到对称轴为1-b+2b+c2，可得b＝c+1，求出顶点的坐标代入四个函数中，如果能求出b的值说明在，反之不在．
【解答过程】解：由抛物线的对称轴x=--2b2=b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b=1-b+2b+c2，即c＝b﹣1，
抛物线的顶点纵坐标为4(2b2-4c)-(2b)24=b2﹣4c＝b2﹣4b+4，
∴顶点坐标为（b，b2﹣4b+4），
将顶点坐标代入A得，b2﹣4b+4＝b+2，整理得b2﹣5b+2＝0，∵52﹣4×2＞0，故顶点可能在A上；
将顶点坐标代入B得，b2﹣4b+4＝﹣b+2，整理得b2﹣3b+2＝0，∵32﹣4×2＞0，故顶点可能在B上；
将顶点坐标代入C得，b2﹣4b+4＝﹣2b+2，整理得b2﹣2b+2＝0，∵22﹣4×2＜0，故顶点不可能在C上；
将顶点坐标代入D得，b2﹣4b+4＝2b+2，整理得b2﹣6b+2＝0，∵62﹣4×2＞0，故顶点可能在D上；
故选：C．
8．（3分）（2020秋•温州期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）部分图象和一次函数y=-12x+2的图象如图所示．已知它们有一个交点为A，点B（﹣1，﹣1）在该二次函数图象上，则它们的另一个交点在（　　）

A．MN之间 B．点N C．NQ之间 D．点Q
【解题思路】由点B的坐标即可确定二次函数的解析式，和直线联立即可确定另一个交点的坐标．
【解答过程】解：把点B代入y＝ax2﹣4ax+2中，
得：a+4a+2＝﹣1，
解得a=-35，
∴抛物线的解析式为y=-35x2+125x+2，
联立抛物线和直线的解析式得：
y=-35x2+125x+2y=-12x+2，
解得x=0y=2或x=296y=-512，
∴它们的另一个交点坐标为（296，-512），
∵M（4，0），N（5，-12），Q（6，﹣1），
又∵4＜296＜5，
∴它们的另一个交点在MN之间，
故选：A．
9．（3分）（2020秋•南浔区期末）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝m（其中m＞0）的两个解分别是﹣1和5，关于x的方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝n（其中0＜n＜m）也有两个整数解，这两个整数解分别是（　　）
A．1和4 B．2和5 C．0和4 D．0和5
【解题思路】先根据题意确定二次函数与x轴和直线y＝m的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与y＝n的交点位置，判断a（x﹣x1）（x﹣x2）＝n两个根的大小范围即可求解．
【解答过程】解：由题意可知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴的交点分别为（1，0）和（3，0），
与y＝m的交点分别为（﹣1，m）和（5，m），
设与y＝n的交点分别为（p，n）和（q，n），
∵0＜n＜m，
∴直线y＝n在x轴和直线y＝m之间，
如图所示：

由图可知，﹣1＜p＜1，3＜q＜5
又∵p，q都为整数，
∴p＝0，q＝4，
故选：C．
10．（3分）（2020秋•万荣县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：①a﹣b+c＜0；②abc＞0；③2a﹣b＜0；④3a+c＝0；⑤b2c2＞4a，其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴①不合题意，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴-b2a=-1，即b＝2a，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴②符合题意，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴-b2a=-1，即b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
∴③不合题意，
由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＝0，
∴④符合题意，
∵b2c2＞0＞4a，
∴b2c2＞4a，
∴⑤符合题意，
∴符合题意的有三个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　12　．
【解题思路】由自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等可得抛物线对称轴为直线x=12，再结合抛物线解析式即可求得m的值．
【解答过程】解：∵自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，
∴抛物线对称轴为直线x=12，
∵抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），
∴m=12，
故答案为：12．
12．（3分）（2020秋•甘井子区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为　y＝﹣x2+4x﹣3　．
【解题思路】由题意知，抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），用交点式求解析式即可．
【解答过程】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
13．（3分）（2020秋•泰兴市期末）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＞0的解集为　﹣1＜x＜1　．

【解题思路】直接利用函数图象即可得出结论．
【解答过程】解：∵由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标的横坐标为1和3
∴函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c的图象与x轴的交点横坐标为﹣1，1，
由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c，当1＜x＜3时，函数图象在x轴的上方，
∴二次函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c，当﹣1＜x＜1时，函数图象在x轴的上方，
∴不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0＜0的解集为﹣1＜x＜1．
故答案为：﹣1＜x＜1．
14．（3分）（2021春•凤凰县月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+n（n为常数）的图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1与y2的大小关系为y1　＜　y2（填“＞”“＜”“＝”）．
【解题思路】计算函数对称轴，比较A、B两点离对称轴的远近即可求解．
【解答过程】解：二次函数y＝x2﹣4x+n的对称轴为x=--42×1=2，
∵x1＜2＜x2，
∴A、B在对称轴两侧，
∵x1+x2＞4，
∴12（x1+x2）＞2，即B离对称轴的距离比A离对称轴的距离远，
∵抛物线开口向上，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
15．（3分）（2020秋•郯城县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续　5　小时水位才能到拱桥顶．

【解题思路】先设抛物线的解析式为y＝ax2，设出点D坐标（5，b），继而得出B（10，b﹣3），代入解析式后可求解得出抛物线的解析式，由b的值可得水面CD到拱顶的距离，进而求出时间
【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
25a=b100a=b-3，
解得a=-125b=-1，
∴y=-125x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
16．（3分）（2020秋•德保县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为　15　cm2．

【解题思路】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC＝6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解答过程】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC=AB2-BC2=6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ=12AC•BC-12PC•CQ=12×6×8-12（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故答案为15．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2020秋•西华县期中）如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：
（1）抛物线y2的解析式是　y2＝﹣（x﹣1）2+2　，顶点坐标为　（1，2）　；
（2）阴影部分的面积　2　；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为　y3＝（x+1）2﹣2　，开口方向　向上　，顶点坐标为　（﹣1，﹣2）　．

【解题思路】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线y2的解析式，再根据y2的解析式求出顶点坐标即可；
（2）根据阴影部分的面积等于底×高，列式计算即可；
（3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线y3的解析式．
【解答过程】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2，
∴抛物线y2的解析式是y2＝﹣（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）．
故答案为：y2＝﹣（x﹣1）2+2，（1，2）；
（2）阴影部分的面积是：1×2＝2．
故答案为：2；
（3）∵将抛物线y2绕原点O旋转180°后，得到抛物线y3的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
∴抛物线y3的解析式为y3＝（x+1）2﹣2，开口方向向上．
故答案为：y3＝（x+1）2﹣2，向上，（﹣1，﹣2）．
18．（6分）（2020秋•温州期末）已知抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）若点B（m，n）在该抛物线上，且﹣2≤m≤2，求n的取值范围．
【解题思路】（1）将点A代入即可求出a的值以及抛物线解析式，再进行配方即可找到顶点坐标；
（2）根据抛物线的增减性即当x≤1时，y随着x的增大而减小，当x≥1时，y随着x的增大而增大，结合﹣2≤m≤2，即可找到n的取值范围．
【解答过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（2，3），
∴a⋅22﹣2×2+3＝3，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴当x≤1时，y随着x的增大而减小，当x≥1时，y随着x的增大而增大，
∵﹣2≤m≤2，
∴当m＝1时，n有最小值2，
当m＝﹣2时，n有最大值11，
∴2≤n≤11．
19．（8分）（2020秋•安丘市期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过A（﹣2，0），B（2，2），C（0，2）三个点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小．

【解题思路】（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点的坐标代入即可求得二次函数的解析式；
（2）先求得抛物线对称轴为直线x＝1，再根据抛物线与x轴的交点A（﹣2，0），求出另一个交点E，连接CE交对称轴与点D，点D即为所求，求出直线CE的解析式，把x＝1代入即可求出点D坐标．
【解答过程】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（﹣2，0），B（2，2），C（0，2）三点的坐标代入得：4a-2b+c=04a+2b+c=2c=2，
解得：a=-14b=12c=2，
∴抛物线得解析式为y=-14x2+12x+2；
（2）如图，

∵抛物线得解析式为y=-14x2+12x+2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵抛物线与x轴的交点A（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为E（4，0），
连接CE与对称轴x＝1交于点D，点D即为所求，
设直线CE解析式为y＝kx+b，
将C（0，2），E（4，0）两点代入得：b=24k+b=0，
解得：k=-12b=2，
当x＝1时，y=32，
∴点D的坐标为(1，32)，
∴当D点坐标为为(1，32)时，△ACD的周长最小．
20．（8分）（2021春•铜梁区校级期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明根据已学的函数知识对函数y1=|2x+4|(x＜0)-12x2+4(x≥0)的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
4
2
0
a
4
72
2
b
﹣4
…
（1）表中a＝　-12　，b＝　4　；
（2）根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系描点画出函数图象；并根据函数图象写出该函数的一条性质 　该函数图象与x轴有两个交点　；
（3）已知直线y2=12x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．

【解题思路】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）描点、连线即可得到函数图象，根据图象即可写出函数的一条性质；
（3）根据图象即可求得结果．
【解答过程】解：（1）把点（0，4），（2，2）代入y＝ax2+b得：b=44a+b=2，
解得：a=-12b=4；
故答案为：a=-12，b＝4；
（2）函数图象如图：
一条性质：该函数图象与x轴有两个交点；

（3）由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜2且x≠2．
21．（8分）（2020秋•长丰县期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/kg）
7
8
9
y（kg）
4300
4200
4100
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为　y＝﹣100x+5000　；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
【解题思路】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【解答过程】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
7k+b=43008k+b=4200，
解得：k=-100b=5000，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣100x+5000；
（2）由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∴当x＝28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x1＝20，x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
22．（8分）（2020秋•官渡区期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的解析式；
（2）如图②，连接BC，点E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EG∥y轴交BC于点G，求△EFG面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，即可求函数解析式；
（2）求出直线BC的解析式为y＝x﹣3，设G（m，m﹣3），E（m，m2﹣2m﹣3），可判断△EFG是等腰直角三角形，在Rt△EFG中，S△EFG=12EF⋅GF=12EF2=14EG2，当EG最大时，△EFG的面积最大，因为EG=-m2+3m=-(m-32)2+94，所以当m=32时，EG的最大值为94即可求解；
（3）分三种情况讨论：①当BD＝PD时，P1(1，-4+25)，P2(1，-4-25)；②当BP＝DP时，P3(1，-32)；③当BD＝BP时，P4（1，4）．
【解答过程】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，
得a-b-3=09a+3b-3=0，
解得a=1b=-2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（3，0），C（0，﹣3）代入，
得3k+b=0b=-3，
解得k=1b=-3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设G（m，m﹣3），E（m，m2﹣2m﹣3），
∴EG＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∵EG∥y轴，
∴∠EGF＝∠BCO＝45°，
∵EF⊥BC，
∴∠GEF＝∠EGF＝45°，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EF＝GF，
在Rt△EFG中，EF2+GF2＝EG2，
∴EF2=12EG2，
∴S△EFG=12EF⋅GF=12EF2=14EG2，
∴当EG最大时，△EFG的面积最大，
∵EG=-m2+3m=-(m-32)2+94，
∴当m=32时，EG的最大值为94，
∴△EFG的最大面积S=14×(94)2=8164，
此时，E（32，-154）；
（3）存在，理由如下：
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4），
∵B（3，0），
∴BD=(3-1)2+(0+4)2=25，
设P（1，n），则BP2＝（3﹣1）2+（0﹣n）2，DP2＝（n+4）2，
以B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况：
①当BD＝PD时，则PD=BD=25，
∴P（1，﹣4+25）或P（1，﹣4﹣25）；
②当BP＝DP时，则（3﹣1）2+（0﹣n）2＝（n+4）2，
解得n=-32，
∴P（1，-32）；
③当BD＝BP时，则(3-1)2+(0-n)2=(25)2，
解得n1＝4，n2＝﹣4（舍），
∴P（1，4）；
综上所述，满足条件的点P有4个，坐标分别为（1，﹣4+25）或（1，﹣4﹣25）或（1，-32）或（1，4）；

23．（8分）（2021•湘潭）如图，一次函数y=33x-3图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=33x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【解题思路】（1）由y=33x-3可求出A（3，0），B（0，-3），代入二次函数y=33x2+bx+c即得二次函数解析式为y=33x2-233x-3；
（2）由二次函数y=33x2-233x-3可得其对称轴为直线x=2332×33=1，设P（1，m），Q（n，33n2-233n-3），而C与B关于直线x＝1对称，可得C（2，-3），
①当BC、PQ为对角线时，0+22=1+n2-3-32=m+33n2-233n-32，可得m=-233n=1，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P（1，-233），B（0，-3），C（2，-3）可得PB＝PC，即得此时Q（1，-433）；②BP、CQ为对角线时，同理可得Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，同理可得Q（3，0）．
【解答过程】解：（1）在y=33x-3中，令x＝0得y=-3，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，-3），
∵二次函数y=33x2+bx+c图象过A、B两点，
∴0=33+3b+c-3=c，解得b=-233c=-3，
∴二次函数解析式为y=33x2-233x-3；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y=33x2-233x-3可得其对称轴为直线x=2332×33=1，
设P（1，m），Q（n，33n2-233n-3），而B（0，-3），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，-3），
①当BC、PQ为对角线时，如图：

此时BC的中点即是PQ的中点，即0+22=1+n2-3-32=m+33n2-233n-32，
解得m=-233n=1，
∴当P（1，-233），Q（1，-433）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，-233），B（0，-3），C（2，-3）可得PB2=43=PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，-433）；
②BP、CQ为对角线时，如图：

同理BP、CQ中点重合，可得0+12=2+n2-3+m2=-3+33n2-233n-32，
解得m=0n=-1，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，-3），C（2，-3）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：

BQ、CP中点重合，可得0+n2=2+12-3+33n2-233n-32=-3+m2，
解得m=0n=3，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，-3），C（2，-3）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，-433）或（﹣1，0）或（3，0）．