初中数学北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系同步测试题

这是一份初中数学北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系同步测试题，共46页。
专训3.6.2 切线的性质与判定综合问题
1．如图，为菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点．
（1）求证：与相切；
（2）若菱形的边长为1，，求的半径．

【答案】（1）见解析；（2）的半径
【分析】
（1）根据菱形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；
（2）根据菱形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质和对角线的长列方程求解．
【详解】
解：（1）连接，过点作于，

与相切于点，
，
，
是菱形的对角线，
，
，
，
，
与相切；
（2）是菱形，
，
，
，，
设半径为．则，，
，，
，，

解得（负值已舍去）．
【点睛】
此题综合了菱形的性质和圆的切线的性质和判定．注意：运用数量关系证明圆的切线的方法．
2．如图，在中，，以为直径的⊙交于点，交于点，过点作，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明和全等即可得到结论；
（2）由勾股定理求出，根据全等三角形的性质可得出答案．
【详解】
（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，，
，
，
∵，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
3．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点D是弧BC的中点，连接AC、BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．

（1）判断直线EF与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝5，BD＝3，求线段AE的长．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）AE＝3.2
【分析】
（1）连接OD，利用∠BOD＝∠FAE，得到OD∥AE，证得OD⊥EF即可得到直线EF是⊙O的切线；
（2）连接AD，BD，利用△ABD∽ADE，即可得到AE的长．
【详解】
解：（1）相切，
理由如下：
连接OD，

∵点D是弧BC的中点，
∴∠BOD＝∠FAE，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线，即直线EF与⊙O相切；
（2）连接AD，BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，BD＝3，
∴AD＝4，
∵∠E＝∠ADB＝90°，∠BAD＝∠DAE，
∴△ABD∽ADE，
∴＝，
∴AE＝3.2.
【点睛】
本题考查切线的判定和性质、圆周角定理，解题的关键是会添加辅助线．
4．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长．

【答案】（1）34°；（2）2
【分析】
（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）连接OA，

∵∠ADE＝28°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+（2）2＝（r+2）2，
解得：r＝2，
答：⊙O半径的长是2．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5．如图，在中，，通过尺规作图（作图痕迹如图所示）得到的射线与AC相交于点P．以点P为圆心，AP为半径的圆与尺规作图得到的射线的一个交点为F，连接AF．

（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）31°
【分析】
（1）过点P作PD⊥BC，根据尺规作图可知，BP是∠ABC的平分线，由∠BAC=90°得，PA⊥AB，再根据角平分线的性质和切线的判定可得；
（2）由（1）可知，以及角平分线的性质得，∠ ABP=∠ABC，求出∠APB的度数，再根据等腰三角形以及三角形的外角的性质即可求出；
【详解】
（1）证明：过点P作，垂足为D
由尺规作图知，BP是的平分线；

由得，
∴
∴BC是的切线
（2）解：由（1）得，
∴
∴
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质和判定，以及角平分线的概念，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线，是解本题的关键.
6．已知P是外一点，PO交于点C，，弦的度数为60°，连接PB．
求BC的长；
求证：PB是的切线．

【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）连接OB，根据圆、等腰三角形的有关性质，求得为等边三角形，即可求解；
（2）利用圆、等腰三角形以及三角形外角的性质，求得，可得，从而求证．
【详解】
解：如图，连接OB．

，，
，
，
，
，
，
的等边三角形，
．
又，
；
证明：由知，的等边三角形，则，．
，
，
．
又，，
，
，即．
又是半径，
是的切线．
【点睛】
此题主要考查了圆、等腰三角形等有关性质，熟练掌握圆、等腰三角形的性质是解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，以点C为顶点作∠BCP＝∠A与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）过点O作半径OD//BC与AC交于点E，若DE﹣OE，AC＝15，求△ABC的周长．

【答案】（1）见解析；（2）40．
【分析】
（1）连接OC，由等腰三角形的性质及圆周角定理可得出∠PCO=90°，则可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出BC=2OE，设OE=x，由勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求出BC=8，AB=17，则可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接OC，

∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵∠BCP＝∠A，
∴∠BCP＝∠OCA，
∴∠PCO＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD//BC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE，
∵OA＝OB，
∴BC＝2OE，
设OE＝x，
则BC＝2x，
∵DE﹣OE，
∴DE＝x，
∴OD＝2x，
∴AB＝4x+1，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，
∴（2x）2+152＝（4x+1）2，
∴x＝4或x（舍去），
∴BC＝8，AB＝17，
∴△ABC的周长为8+17+15＝40．
【点睛】
本题考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
8．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）①当∠BAC＝　　°时，四边形OBED为正方形；
②若AB＝4，当BC＝　　时，四边形ODCE是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）①45；②4．
【分析】
（1）连接OD、OE，如图1所示，然后证明△ODE≌△OBE，从而得到OB⊥BC即可；
（2）①连接BD、OD，当∠BAC＝45°,△ABC是等腰直角三角形，然后得到DE为△ABC的中位线，证得∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，根据OD＝OB即可求证；
②连接OE，当BC＝4，E是BC的中点，则有CE=OD，只需证明CE∥OD即可
【详解】
解：（1）证明：连接OD、OE，如图1所示：
∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠DOE＝∠BOE，
在△ODE和△OBE中，

∴△ODE≌△OBE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：
如图2，连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
由（1）得：OB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵OD＝OB，
∴四边形OBED为正方形，
故答案为：45；

②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形，理由如下：
如图3，∵AB＝4，BC＝4，
∴OD＝OA＝2，AB＝BC，
∴∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥CE，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝2，
∴OD＝CE，
∴四边形ODCE是平行四边形，
故答案为：4．

【点睛】
本题主要考查了圆的性质，圆切线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，正方形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．如图等腰，，为上一点，经过点且与相切于点，与交于点，作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）9．
【分析】
（1）连接OD，利用等腰三角形的性质可证明∠ODC＝∠B，得出OD∥EF，再由平行线的性质可证得∠ODF＝90°，即可证明DF是⊙O的切线；
（2）先利用正方形的判定得出四边形OEFD是正方形，则可根据正方形性质求得OE ＝DF＝4，再由勾股定理求出OA的长，即可求得结果．
【详解】
（1）证明：如图，连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∵OD=OC，
∴∠ACB ＝∠ODC．
∴∠B＝∠ODC．
∴OD∥EF．
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝90°
∴∠ODF＝90°．
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，
∵AB，DF是⊙O的切线，DF⊥AB，
∴∠OEF＝∠ODF＝∠AFD＝90°．
∴四边形OEFD是矩形．
∵OD=OE，
∴矩形OEFD是正方形，
∴OE ＝DF＝4，
在Rt△AOE中，AE ＝3，
由勾股定理得：．
∴AC＝OA＋OC＝OA＋OE＝9．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理及正方形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并熟练运用．
10．如图，是的直径，是圆上一点，弦于点，且．过点作的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．

（1）求证：与相切；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，AC．易证△ACD为等边三角形，所以∠D=∠DCA=∠DAC=60°，从而可知∠DCO=∠DCA=30°，由于FG∥DA，易知∠OCF=∠DCF-∠DCO=90°，所以FG与⊙O相切．
（2）求出AG=2，证明△ADE≌△GCE（AAS），求出AE=，由勾股定理可求出EF的长．
【详解】
解：（1）如图，连接，．

∵AB是的直径，弦于点，
∴，．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴与相切；
（2）解：∵与相切，
∴．
∵与相切
∴
∵
∴
∵，即
∴
∵，
∴
∴，
∵，，，
∴ ．
∴，
∴．
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
11．如图，是的直径，且，过点B作的切线，以点M为圆心，的长为半径画弧，交于点C（不与B点重合），连接并延长，交的延长线于点D．

（1）求证：是的切线．
（2）填空：
①当________时，四边形是正方形；
②当________时，三角形是等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）①3；②
【分析】
（1）连接OC，OM，通过证明 ，证明∠OCM=90°，从而得证；
（2）①将“四边形BOCM是正方形”作为题设，求得CM的长度；再将CM的长度作为已知，证四边形BOCM是正方形；
②在“是等边三角形”的条件下，计算CM的长度，再将 CM的长度作为已知，证 是等边三角形．
【详解】
（1）证明：连接、，如图所示．

∵是的切线，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）①当MC=3时，四边形BOCM是正方形，理由如下：
∵，
又，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
∵，
∴四边形是正方形．
故答案为3；
②当时，三角形是等边三角形，理由如下，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴是等边三角形．
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质与判定、全等三角形判定和性质、正方形和等边三角形的判定、勾股定理等知识点，熟知切线的判定和性质、正方形和等边三角形的判定方法是解题的关键．
12．如图，四边形为矩形，以为直径作，过点作与相切于点，连接交于点，连接．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若点为的中点，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DC=．
【分析】
（1）如图，连接DF、OF，DF交于G，根据AD为直径可得∠AFD=90°，根据切线性质可得∠OFC=90°，根据矩形的性质可得∠ADC=90°，OA//CE，可得DC是切线，根据切线长定理可得CF=DC，由OD=OF可得OC是线段DF的垂直平分线，可得∠OGD=90°，即可证明OC//AE，可得四边形AOCE是平行四边形；
（2）如图，连接OE、OF，由AD=2可得OA=OF=1，由平行四边形的性质可得OA=BE，进而可证明四边形AOEB是矩形，可得∠AOE=90°，OE=AB=CD，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE的长，利用勾股定理求出OE的长即可得答案．
【详解】
（1）如图，连接DF、OF，DF交于G，
∵AD为直径，
∴∠AFD=90°，
∵与相切于点，
∴∠OFC=90°，
∵四边形为矩形，
∴∠ADC=∠DAB=90°，OA//CE，
∴DC是切线，
∴DC=CF，
∵OD=OF，
∴OC是线段DF的垂直平分线，
∴∠OGD=90°，
∴OC//AE，
∴四边形AOCE是平行四边形．

（2）如图，连接OE、OF，
∵AD=2，OA=OD，
∴OF=OA=1，
∵四边形AOCE是平行四边形，
∴OA=CE，
∵AD=BC，
∴OA=BE，
∵OA//BE，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形AOEB是矩形，
∴∠AOE=90°，OE=AB=DC，
∵F为AE中点，
∴AE=2OF=2，
∴DC=OE===．

【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的判定与性质、切线长定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，直径所对的圆周角等于90；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
13．在等腰中，，过A，B两点的⊙O交射线于点D．

（1）如图1，已知，若点O在上，过点D作⊙O的切线交射线于点E，求的度数．
（2）如图2，已知．与交于点F，过点D作，交射线于点E．求证：是⊙O的切线．
【答案】（1）45°；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用半径相等以及等边对等角求得，利用切线的性质求得，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）利用圆周角定理求得，利用平行线的性质求得，即可证明是⊙O的切线．
【详解】
（1）连接，，

∵，，
∴∠ABC=∠ACB=，∠ABO=∠BAO=，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
在中，；
（2）连接，

∴．
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
14．在中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，连接．

（Ⅰ）如图①，若，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，连接，若，求的大小．
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）30°
【分析】
（Ⅰ）连接，由切线的性质，等腰三角形的性质，即可求出答案；；
（Ⅱ）连接，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（Ⅰ）如图，连接．

∵与相切，
∴，即．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（Ⅱ）如图，连接，．

∵，
∴四边形为平行四边形．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
15．己知点A，B，C是上的三个点，．

（1）如图①，若．求和的大小；
（2）如图②，过点C作的切线，交的延长线于点D，若，求的大小．
【答案】（1），；（2）50°
【分析】
（1）连接OC，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出答案；
（2）连接OC并延长交⊙O于点E，连接AE，由切线的性质及圆周角定理得出∠ACD=∠E，由等腰三角形的性质得出∠ACD=∠D，得出∠D=∠ABC=∠AEC，由三角形内角和定理求出∠OBC=10°，求出∠D=∠ABC=∠ACD=40°，则可得出答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
如图①，连接，
∵，∴．
∵，
∴．
∵，
∴；

（2）如图②，连接，

设，∵，
∴，∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴．
∵，
∴．
∴，
解得．
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16．如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）∠AED+∠ACD＝90°，见解析
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到AB⊥AD，推出四边形BODC是平行四边形，得到OB＝CD，等量代换得到CD＝OA，推出四边形ADCO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OC∥AD，于是得到结论；
（2）如图2，连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，求得∠EBA+∠BAE＝90°，证得∠ABE＝∠DAE，等量代换即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，连接OC，

∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，
∴AB⊥AD，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形，
∴OB＝CD，
∵OA＝OB，
∴CD＝OA，
∴四边形ADCO是平行四边形，
∴OC∥AD，
∵CD∥BA，
∴CD⊥AD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆的切线；
（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，
理由：如图2中，连接BE．

∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EBA+∠BAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAE，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠ACE＝∠DAE，
∵∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，点F在BC上，且BF=DF．

（1）求证：DF是半圆O的切线；
（2）若AC=4，BC=3，CF=1，求半圆O的半径长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，由BF=DF，可得∠B=∠FDB，由OA=OD可得∠A=∠ADO，进而证明∠BDF+∠ADO=∠A+∠B=90°，从而可证DF是半圆O的切线；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC=4-r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【详解】
解：（1）连接OD，如图1
∵BF=DF
∴∠B=∠BDF，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠FDB=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF是半圆O的切线；

（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD=OE=r，
∵AC=4，BC=3，CF=1，
∴OC=4-r，DF=BF=3-1=2，

∵OD2+DF2=OF2=OC2+CF2，
∴r2+22=（4-r）2+12，解得：r=
∴半圆O的半径长为
【点睛】
本题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，求证切线，往往连接半径为辅助线，第（2）题关键是由勾股定理列出方程．
18．如图，在中，．
（1）如图1，若为的中点，以为圆心，为半径作交于点，过作，垂足为．

①试说明：．
②判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若点沿向点移动，以为圆心，以为半径作与相切于点，与相交于点，与相交于点，垂足为，已知的半径长为4，，求切线的长．

【答案】（1）①证明见解析；②与相切，证明见解析；（2）
【分析】
（1）①根据题意和等腰三角形的性质，可以说明BD=CD，本题得以解决；
②先判断直线DE与⊙O的位置关系，然后根据题意和图形可以说明猜想的结论是否正确；
（2）根据题意和矩形的性质，勾股定理可以求得切线AF的长．
【详解】
解：（1）①连接，

为的直径，
，即，
，
．
②直线与相切，连接，

，
，
，
，
，
与相切．
（2）由（1）得，与相切，

与相切，，
，即四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
解得，，即．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，点P在∠ABC平分线上，以点P为圆心作⊙P．
（1）如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切；
（2）当⊙P同时与直线BC、AC相切时，求⊙P的半径．

【答案】（1）见解析；（2）1或3
【分析】
（1）过点P作PD垂直AB，交AB于D点，先利用勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再由角平分线的性质得到PC＝PD＝r，由此即可证明；
（2）分点P在三角形ABC的内部和外部两种情况，利用切线的性质进行求解即可．
【详解】
证明：（1）如图，过点P作PD垂直AB，交AB于D点，

∵AB＝5，BC＝3，CA＝4，
∴ ，
∴∠ACB＝90°，
∴PC⊥BC，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PD⊥AB，
∴PC＝PD＝r，
∴⊙P与直线AB相切．
（2）如图，当⊙P同时与直线BC、AC相切时，点P在∠ACB或∠ACM的角平分线上存在两种情况：

①当圆心在△ABC内部，即⊙P1分别与直线BC、AC相切时，
∴P1G＝P1F＝P1E＝r，P1G⊥BC，P1E⊥AB，P1F⊥AC，
∴＝＝，
∴，
②当圆心在△ABC外部，⊙P2分别与直线BC、AC相切时，
∴P2M＝P2N＝P2Q＝R，P2M⊥BC，P2Q⊥AB，P2N⊥AC，
∴S△ABC＝，
∴，
综上，⊙P的半径为1或3．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．用直尺与圆规分别作出满足下列条件的⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图①中，⊙O过点C且与AB相切；（作出一个即可）
（2）在图②中，D为AB上一定点，⊙O过点C且与AB相切于点D；
（3）在图③中，E为AC上一定点，⊙O过点C、E且与AB相切．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）作角平分线结合全等三角形即可作出来，或先过C作AB边垂线，再作AB边高的中垂线交AB边高于O，以O为圆心，以OC为半径的圆即为所求；
（2）先做CD中垂线，过D作AB垂线，两条线交点为O，以O为圆心，以OD为半径的圆即为所求；
（3）先作AC为直径的圆，再过E点作AC的垂线，交AC为直径的圆于M点，再AB 上截取AN＝AM，过N点作AB垂线NO，作CE中垂线交NO于O，以O为圆心，以ON为半径的圆即为所求．
【详解】
（1）如图，⊙O即为所求．（答案不唯一，以下两种解法供参考） 3分

（2）如图，⊙O即为所求．

（3）如图，⊙O即为所求．
右图痕迹为左图痕迹的一部分，两个图中的A、E、C相同，在AB上截取AN＝AM．


【点睛】
本题主要考察了切线判定，利用尺规作出满足条件的图形．
22．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
（1）求证：OD＝AC；
（2）求证：MC是⊙O的切线；
（3）若，BC＝12，连接PC，求PC的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据圆周角定理推论可得∠ACB=90°，根据平行线性质得，即OD⊥BC，再根据三角形中位线定理得OD＝AC；
（2）连接OC，根据AC∥OM，OA＝OC，可得∠BOM＝∠COM，根据SAS证明△OCM≌△OBM，又因为MB是⊙O的切线，所以∠OCM＝∠OBM＝90°，即可得MC是⊙O的切线；
（3）根据OB＝，得出PA＝PB＝，因为BC=12，所以AC=9，过点A作AH⊥PC于点H，可得AH和BH长度，即可得PC的长度．
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AC∥OM，
∴，
∴OD⊥BC，
∴D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC为中位线，
∴OD＝AC；
（2）如图所示：连接OC，
∵AC∥OM，
∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠BOM＝∠COM，
在△OCM与△OBM中，
，
∴△OCM≌△OBM（SAS）
又∵MB是⊙O的切线，
∴∠OCM＝∠OBM＝90°，
∴MC是⊙O的切线；

（3）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝∠APB＝90°
∵OB＝，
∴AB＝15，
∴PA＝PB＝，
∵BC=12，
∴AC=9，
过点A作AH⊥PC于点H，
∵，，
∴AH＝CH＝，
，
∴PC＝PH+CH＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，圆周角的推论，平行线的性质，全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
22．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD=∠DEB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：CE=EP；
（3）若CG=12，AC=15，求四边形CFPE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形CFPE的面积为45．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得∠AED=90°，∠OED=∠ADE，由余角的性质可得∠DEB+∠OED=90°，进而可得∠BEO=90°，可得结论；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可证AE为∠CAB的角平分线，由角平分线的性质可得CE=EP；
（3）连接PF，先证四边形CFPE是菱形，可得CF=EP=CE=PF，由“AAS”可证△ACE≌△APE，可得AP=AC=15，由勾股定理可求CF的长，即可求解．
【详解】
证明：（1）连接OE，

∵OE=OD，
∴∠OED=∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
又∵∠DEB=∠EAD，
∴∠DEB+∠OED=90°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠BEO=∠ACB=90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∴∠CAE=∠EAO，
∴AE为∠CAB的角平分线，
又∵EP⊥AB，∠ACB=90°，
∴CE=EP；
（3）连接PF，

∵CG=12，AC=15，
∴AG==9，
∵∠CAE=∠EAP，
∴∠AEC=∠AFG=∠CFE，
∴CF=CE，
∵CE=EP，
∴CF=PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF=PF，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF=EP=CE=PF，
∵∠CAE=∠EAP，∠EPA=∠ACE=90°，CE=EP，
∴△ACE≌△APE（AAS），
∴AP=AC=15，
∴PG=AP-AG=15-9=6，
∵PF2=FG2+GP2，
∴CF2=（12-CF）2+36，
∴CF=，
∴四边形CFPE的面积=CF×GP=×6=45．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，ABDC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O．

（1）求DC的长．
（2）当t为何值时，⊙O与AC相切？
（3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？
（4）当t为　 　时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为　 　．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）；（3）t＝6﹣2或t＝16﹣24；（4）6s，
【分析】
（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；
（2）当与相切时，，求出、，用含的式子表示出，即可求解；
（3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含的式子表示出，即可求解；
（4）过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，得出用表示的式子，根据的取值范围以及一次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）过点作于点，如图1，

，，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，解得（负值舍去），
平分，，
，
；
（2）当与相切时，，如图2，

由题意得：，
在中，，，
，，
，
，
，
解得：，
时，与相切；
（3）第一种情况：如图3，当时满足条件，

在中，，
又，
，
即，解得；
第二种情况：如图4，当时满足条件，

在中，，
又，
，
即，解得；
综上，或；
（4）如图5，过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，

则四边形是矩形，，
，
点是的中点，，，
线段是的中位线，
，
，
，，
当时，有最小值，最小值为．
故答案为：，．
【点睛】
本题以动点问题为背景，主要考查了圆的综合题，解决问题时需要运用矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、切线的判定以及直角三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类思想的运用．