专题46简谐运动-高三物理一轮复习重难点逐个突破

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考点二 简谐运动的周期性与对称性
考点三 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
考点四 单摆及其周期公式
考点五 受迫振动和共振
1．简谐运动概念：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是简谐运动。
2．分析简谐运动问题紧抓住两个模型——弹簧振子和单摆，结合两种模型的振动情景分析求解．
考点一 简谐运动物理量的分析
1.简谐运动的物理量
1）位移：振动质点在某一时刻的位移指的是质点在该时刻相对平衡位置的位移．
2）回复力：F=-kx；回复力是使物体返回到平衡位置的力，回复力的方向时刻指向平衡位置。
3）振幅：振动质点离开平衡位置的最大距离；振幅越大，简谐运动能量越大。
4）周期：振动物体完成一次全振动所需要的时间。
5）频率：振动物体完成全振动的次数与所用时间之比。
6）相位：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，它代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。
2.靠近平衡位置时，物体的a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
1.(2021·高考河北卷)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为0.4 m。该弹簧振子的周期为________s，振幅为________m。
【答案】 4 0.2
【解析】根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，而振动经过了半个周期的运动，则周期为T＝2t＝4 s，从A到B经过了半个周期的振动，路程为s＝0.4 m，而一个完整的周期路程为0.8 m，为4个振幅的路程，有4A＝0.8 m，解得振幅为A＝0.2 m。
2．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示．下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
【答案】A
【解析】小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误；小球靠近平衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误；在小球振动过程中系统的总能量不变，D错误．
3．(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为μ（M+m）gk
【答案】ACD
【解析】物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有：kA＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得A＝μ（M+m）gk，故D正确．
考点二 简谐运动的周期性与对称性
1.周期性：做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
2.对称性：(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)从平衡位置和最大位移之外的任意一点开始计时，经过半个周期，质点一定运动到关于平衡位置的对称点且运动方向相反.
3.对于周期性和对称性问题可以通过画运动过程示意图来辅助分析，也可以利用振动图象解决．
4．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3) s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5) s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
【答案】AD
【解析】若振幅为0.1 m， 则t＝eq \f(T,2)＋nT(n＝0,1,2，…)．
当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝eq \f(2,3) s；n＝2时， T＝eq \f(2,5) s. 故选项A正确，选项B错误．
若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为eq \f(T,2)，周期最大为2 s.
②振子振动如图乙中实线所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知 t＝0时，－eq \f(A,2)＝Asin φ，φ＝－eq \f(π,6)，即振子由C点振动到O点用时至少为eq \f(T,12)，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为eq \f(T,6)，则T最大为6 s；若由C点振动到O点用时1eq \f(1,12)T，振子由C点振动到D点用时eq \f(7,6)T，则T为eq \f(6,7) s.
若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点用时至少为eq \f(T,2)，周期最大为2 s.
综上所述，选项C错误，D正确．
5．一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点( )
A．7 s B．14 s C．16 s D．103 s
【答案】C
【解析】由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确．
6．下列说法中正确的是( )
A．若t1、t2两时刻振动物体在同一位置，则t2－t1＝T
B．若t1、t2两时刻振动物体在同一位置，且运动情况相同，则t2－t1＝T
C．若t1、t2两时刻振动物体的振动反向，则t2－t1＝eq \f(T,2)
D．若t2－t1＝eq \f(T,2)，则在t1、t2时刻振动物体的振动反向
【答案】D
【解析】若t1、t2如图甲所示，则t2－t1≠T，故A错误；
如图乙所示，与t1时刻在同一位置且运动情况相同的时刻有t2、t2′…….故t2－t1＝nT(n＝1、2、3……)，故B错误；同理可判断C错误，D正确．
7．如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是________．要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过________．(重力加速度为g)
【答案】 eq \f(1,2)mg 2A
【解析】解析 由简谐运动的对称性知：
物体在最低点时：
F回＝1.5mg－mg＝ma①
在最高点：
F回＝mg－FN＝ma②
由①②两式联立解得FN＝eq \f(1,2)mg.
由以上可以得出振幅为A时最大回复力为0.5mg，所以有kA＝0.5mg③
欲使物体在振动中不离开弹簧，则最大回复力可为mg，所以有kA′＝mg④
由③④两式联立解得A′＝2A.
考点三 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．简谐运动的表达式
x＝Asin_(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω为圆频率，ω＝eq \f(2π,T).
2．简谐运动的振动图像表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
甲：x＝Asin eq \f(2π,T)t
乙：x＝Asin (eq \f(2π,T)t＋eq \f(π,2))．
3.从图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力方向：回复力总是指向平衡位置，回复力方向和位移方向相反．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
4．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
(3)振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅．
8.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm D．t＝3 s时，质点的振幅为零
【答案】 C
【解析】由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s即eq \f(1,4)个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为eq \f(3,4)T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误．
9.(2022·北京西城区统测)用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向振动，振动图像如图所示，下列描述正确的是( )
A．1～2 s内，小球的速度逐渐减小，加速度逐渐增大
B．2～3 s内，弹簧的势能逐渐减小，弹簧弹力逐渐增大
C．t ＝4 s时，小球的动能达到最大值，弹簧的势能达到最小值
D．t ＝5 s时，弹簧弹力为正的最大值，小球的加速度为负的最大值
【答案】 C
【解析】由题图可知，1～2 s内小球的位移减小，说明弹性势能转化为动能即速度增大，由a＝－eq \f(kx,m)可知，加速度减小，故A错误；由题图可知，2～3 s内小球的位移增大，说明动能转化为弹性势能即弹性势能增大，弹簧弹力逐渐增大，故B错误；由题图可知，t＝4 s时，小球位于平衡位置，此时动能最大，由能量守恒定律可知，弹簧的势能达到最小值，故C正确；t ＝5 s时，小球的位移正向最大，则弹簧弹力为负的最大值，小球的加速度为负的最大值，故D错误。
10．(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm。下列说法正确的是( )
A．M、N间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
【答案】 BC
【解析】M、N间距离为2A＝10 cm，A错误；因ω＝10π rad/s 可知振子的运动周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，B正确；由x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知，t＝0时x＝5 cm，即振子位于N点，C正确；由x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知，t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，D错误。
11.(2021·高考广东卷)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经eq \f(T,8)时间，小球从最低点向上运动的距离________(选填“大于”“小于”或“等于”)eq \f(A,2)；在eq \f(T,4)时刻，小球的动能________(选填“最大”或“最小”)。
【答案】 小于 最大
【解析】根据简谐振动的位移公式y＝－Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t))
则t＝eq \f(T,8)时有y＝－Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)×\f(T,8)))＝－eq \f(\r(2),2)A，所以小球从最低点向上运动的距离为Δy＝A－eq \f(\r(2),2)A＝eq \f(2－\r(2),2)A