2023届辽宁省教研联盟高三第一次调研测试（一模）数学试题

这是一份2023届辽宁省教研联盟高三第一次调研测试（一模）数学试题，共12页。试卷主要包含了设M，N是圆上两点，若，则，若函数满足，则，若，，，则，随机变量且，随机变量，若，则，设等差数列的前项和是，若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.本试卷共22题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.能使两个不同平面与平行的条件是（ ）
A.内有无数条直线与平行B.，垂直于同一个平面
C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一条直线
3.下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A.B.C.D.
4.设M，N是圆上两点，若，则（ ）
A.B.C.2D.4
5.若函数满足，则（ ）
A.B.C.D.1
6.已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（ ）
A.B.C.D.
7.口袋中装有大小重量完全相同的2个红球3个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回，如果2个红球全部被摸出，就停止摸球，则恰好摸球三次就停止摸球的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.若，，，则（ ）
A.B.C.·D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.随机变量且，随机变量，若，则（ ）
A.B.C.D.
10.设等差数列的前项和是，若，则（ ）
A.B.C.D.
11.抛物线的焦点为，准线为，经过上的点作的切线m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为，则（ ）
A.B.为中点
C.四边形是菱形D.若，则
12.若，，，则（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若是纯虚数，，则的实部为______.
14.中，，D在上，，，则______.
15.正四面体的棱中点为0，平面截球所得半径为的圆与相切，则球的表面积为______.
16.过双曲线焦点的直线与的两条渐近线的交点分分别为M、N，当时，.则的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知函数图像相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求值；
（2）当时，求的单调递增区间.
18.（12分）
一所中学组织学生对某线下某实体店2022年部分月份的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：
根据散点图，准备用①或②建立关于的回归方程.
（1）用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为关于的回归方程?
（2）由参考数据，根据（1）的判断结果，求关于的回归方程（精确到0.1）.
附：对于一组数据（，2，3，⋯，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.相关系数.
参考数据：，，，，，
，，，
，.
19.（12分）
如图，四棱锥中，底面是菱形，底面，，M为的中点，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
20.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.
21.（12分）
等差数列的首项，公差，数列中，，，，已知数列为等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，求的最大值.
22.（12分）
已知椭圆离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且.
（1）求的方程；
（2）设M，N是上异于的两点，若，求面积的最大值.
2023年辽宁省教研联盟高三第一次调研测试
数学试题 参考答案
一、选择题
1.【答案】B
解：，选B.
2.【答案】D
解：直于同一条直线的两个不同平面平行，选D.
3.【答案】A
解：画每个函数图像可知，是偶函数，且在区间单调递增，选A.
4.【答案】C
解法1：设中点为，则，所以
，选C.
解法2：，选C.
解法3：设中点为，以为轴正方向，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，因此，选C.
5.【答案】B
解：代入可得 ①.
代入可得 ②
联立①②可得，选B.
6.【答案】D
解：因为，所以，，因此的最小正值为，选D.
7.【答案】A
解法1：
，选A.
解法2：
摸球三次结果的所有可能情形有种，这三次符合题意摸球可以分为两类，第一类第一次第三次摸到红球，可能情形有种，第二次第三次摸到红球，可能情形有种，于是摸球三次就停止摸球的概率为，选A.
8.【答案】A
解：设，则当时，.
因为，所以，于是在单调递增，所以，可得.
设，则当时，，所以，可得.
综上，，选A.
二、选择题
9.【答案】ACD
解：因为且，所以，故，，选项A正确，选项B错误.
因为，所以，由可得，选项C正确.
，选项D正确.
综上，选ACD.
10.【答案】BC
解：由可得的公差，且，，因此，
且，，从而，，选项A错误，选项B正确，选项C正确.
由可得，由，因为，所以，
因为单调递减，所以，，选项D错误.
综上，选BC.
11.【答案】BCD
解：设与轴交点为，则未必是的中点，未必有，因此选项A错误.
设，可知斜率存在，可设，
将代入可得，由，可得，
因此.
于是，因为，，所以为中点，选项B正确.
因为，所以是的垂直平分线，而轴，
所以四边形是菱形，选项C正确.
，由，可得，所以.
因为，所以，选项D正确.
综上，选BCD.
【关于导数得出：
对等式两边对求导数，可得，从而，设，
可得，即.】
【例子】对于函数，，我们有，
两边对求导数可得 .
从而.…….
12.【答案】BD
解：因为，选项A错误.
，
当且仅当，时，取等号，选项B正确.
因为，所以，可得，选项C错误.
设，则D等价于，等价于.因为单调递增，，所以，所以，选项D正确.
综上，选BD.
三、填空题
13.【答案】1
解：由题设，故，实部为1.
14.解法1：
的面积等于面积与面积之和，所以
.
即.
于是.
解法2：
直角中，因为，所以.
因为，所以.在中，由正弦定理可得，
从而.
所以
于是.
15.【答案】
解：设正四面体的棱长为a，中点为，则，.
设中心为，由对称性可知球截平面所得圆圆心在上，且为的中点，所以.
因为，由可得.
于是球的半径，球的表面积为.
16.【答案】
解法1：
因为，所以垂直于渐近线，所以的离心率.
因为，所以，.
过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，在直角中，.
因为，因为，所以.
因此的离心率为.
解法2：
因为，所以垂直于渐近线，所以，.
在中，，可得，
从而，C的离心率.
四、解答题
17.解：
（1）
因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以周期为.
由，可得.……（5分）
（2）由（1）知，.
由，可得.
因为，所以，的单调递增区间为和.……（10分）
18.解：
（1）由题意的线性相关系数的相关系数.
的相关系数.
所以，因此模型①拟合效果更好.……（6分）
（2）根据（1）的判断结果，计算与
由参考数据，所以.
于是关于的回归方程①为.（12分）
19.解：
（1）因为底面，所以.
在平面内过做，垂足为，因为平面平面，交线为，所以平面，从而.
因为，所以平面，于是；……（6分）
（2）以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，建立如图所示的建立空间直角坐标系，则轴在平面内.
因为底面是菱形，由（1）及题设可知，可得，，，
，于是，，.
设为平面的法向量，则，即 可取.
设为平面的法向量，则，即 可取.
因为，
所以二面角的正弦值为.……（12分）
20.解：
（1）的定义域为，.
当时，，当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.……（4分）
（2）设，，，则，，.
于是等价于
因为，所以
.
因为，所以.
设，，则.
由（1）可知，当时，.
于是.……（12分）
21.解法1：
（1）由题意，所以.
因为，所以，故数列的公比，所以.
又.
所以.……（6分）
（2）由（1）可知，，设，则.
设，则.
故单调递减，因为，，所以当时，，
当时，.
于是的最大值为.……（12分）
解法2：
（1）同解法1.
（2）由（1）可知，，设，则
设，则当时，，单调递减.
因为，，，所以当时，，
当时，.
于是的最大值为.……（12分）
解法3：
（1）同解法1.
（2）由（1）可知，.
设，由可得
当和时，②不成立；
当时，①②同时成立；
当时，，①不成立；
因此①②同时成立的正整数.
于是的最大值为.……（12分）
【后半部分也可以这样做】
当和时，②不成立；当时，①②同时成立；
设，则当时，，单调递增.
所以当时，，①不成立；
因此①②同时成立的正整数.
于是的最大值为.
解法4：
（1）同解法1.
（2）由（1）可知，.
设，由可得
设，则当时，，单调递减.
因为，，所以①②同时成立的正整数.
于是的最大值为.……（12分）
22.解：
（1）由已知，可得，.
可得，因为斜率为1，所以.
因为，所以，.
于是的方程为；……（6分）
（2）由（1）知，因为，所以不垂直于轴.
设，代入得.
当时，设，，则
，①
因为，所以，故，可得
.
将①代入上式可得.
因为，整理得，直线经过定点，.
因为，所以面积
.
设，则，.设，.
所以当，时，面积取最大值.……（12分）
月份
2
4
6
8
10
12
净利润（万元）
0.9
2.0
4.2
3.9
5.2
5.1
0.7
1.4
1.8
2.1
2.3
2.5
1.4
2.0
2.4
2.8
3.2
3.5