高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 1 第1课时　函数的概念及其表示

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考试要求 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
微思考
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？
提示 0个或1个．
2．函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？
提示 函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )
(3)y＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)是一个函数．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,x－2)的定义域为________．
答案 [0,2)∪(2，＋∞)
解析 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x－2≠0))
解得x≥0且x≠2，
∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤1，,fx－1，x>1，))则f(2)＝________.
答案 2
解析 f(2)＝f(1)＝21＝2.
4．函数f(x)＝x－eq \f(1,x)在区间[2,4]上的值域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(15,4)))
解析 f(x)＝x－eq \f(1,x)在区间[2,4]上单调递增，
又f(2)＝eq \f(3,2)，
f(4)＝eq \f(15,4)，
故f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(15,4))).
题组三 易错自纠
5．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
答案 C
解析 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
6．已知f(eq \r(x))＝x＋eq \r(x)－1，则f(x)＝________.
答案 x2＋x－1，x≥0
解析 令t＝eq \r(x)，则t≥0，x＝t2，
∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，
∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.
第1课时 函数的概念及其表示
题型一 函数的概念
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案 C
2．(多选)下列各组函数相等的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．－1 D．1
答案 D
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－1))＋1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋1＝cs eq \f(π,3)＋1＝eq \f(3,2)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝1.
命题点2 分段函数与方程、不等式问题
例3 (1)(2021·长春模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 ∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，
综上有a＝－3.
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x≥1，,\f(1,1－x)，x1恒成立，∴x>eq \f(1,2)，
当01，
即2x＋x>eq \f(1,2)恒成立，
∴01，解得－eq \f(1,4)0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,1－lg2x，x>0，))则f(f(8))等于( )
A．－1 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．2
答案 C
解析 ∵f(8)＝1－lg28＝1－3＝－2，
∴f(f(8))＝f(－2)＝2－2＋1＝eq \f(1,2).
3．设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为( )
A.eq \f(1＋x,1－x)(x≠－1) B.eq \f(1＋x,x－1)(x≠－1)
C.eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1) D.eq \f(2x,x＋1)(x≠－1)
答案 C
解析 令t＝eq \f(1－x,1＋x)，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，
∴f(t)＝eq \f(1－t,1＋t)，
即f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1)．
4.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0