(新高考)高考数学一轮复习讲义第2章§2.1函数的概念及其表示(含详解)

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考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( × )
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( × )
(4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,x2，x＜0))的定义域为R.( √ )
教材改编题
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案 C
2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))等于( )
A．－1 B．2 C.eq \r(3) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg3eq \f(1,2)0，,x＋1≠1，,4－x2≥0，))
解得－10，,x2＋6x≥0，))
解得x>2或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝eq \f(x,\r(1－2x))，则函数eq \f(fx－1,x＋1)的定义域为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案 D
解析 令1－2x>0，
即2x1)．
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，
又f(x)＝0，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函数对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
答案 eq \f(2,3)x
解析 ∵f(x)－2f(－x)＝2x，①
∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
由①②得f(x)＝eq \f(2,3)x.
教师备选
已知f(x)满足f(x)－2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2x，则f(x)＝________.
答案 －eq \f(2x,3)－eq \f(4,3x)
解析 ∵f(x)－2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2x，①
以eq \f(1,x)代替①中的x，得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))－2f(x)＝eq \f(2,x)，②
①＋②×2得－3f(x)＝2x＋eq \f(4,x)，
∴f(x)＝－eq \f(2x,3)－eq \f(4,3x).
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，则f(x)＝________.
答案 －x2＋2x，x∈[0,2]
解析 令t＝1－sin x，
∴t∈[0,2]，sin x＝1－t，
∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]，
∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]．
(2)(2022·黄冈质检)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq \f(1,x4)，则f(x)＝__________.
答案 x2－2，x∈[2，＋∞)
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
题型三 分段函数
例3 (1)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs πx，x≤1，,fx－1＋1，x>1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．－1 D．1
答案 D
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－1))＋1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋1
＝cs eq \f(π,3)＋1＝eq \f(3,2)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))
＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝1.
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3，x>0，,x2－4，x≤0，))若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
答案 1或－3 [－eq \r(5)，－1]
解析 ①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，
解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－eq \r(5)≤a≤－1.
教师备选
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x