(新高考)高考数学一轮复习讲义第2章§2.4函数性质的综合应用培优课(含详解)

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例1 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
(1) (2)
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意两个正数x1，x2(x1x1·f(x2)．记a＝25f(0.22)，b＝f(1)，c＝－lg53 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
答案 A
解析 构造函数g(x)＝eq \f(fx,x)，
函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，
∵函数f(x)为R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝eq \f(f－x,－x)＝eq \f(fx,x)＝g(x)，
则函数g(x)为偶函数，
对于任意两个正数x1，x2(x1x1·f(x2)，
则eq \f(fx1,x1)>eq \f(fx2,x2)，
即g(x1)>g(x2)，
则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵a＝25f(0.22)＝eq \f(1,\f(1,25))f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,25)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,25)))，
b＝f(1)＝g(1)，
c＝－lg53 SKIPIF 1 < 0 ＝－eq \f(1,lg35)f(－lg35)
＝g(lg35)，
∵lg35>lg33＝1>eq \f(1,25)，
则g(lg35)c.
思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
跟踪训练1 (2022·南京质检)已知函数f(x)＝－x－x3，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于零
B．一定小于零
C．等于零
D．正负都有可能
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝－(－x)－(－x)3＝x＋x3
＝－f(x)，
所以函数f(x)是R上的奇函数，
由单调性的运算性质可知，函数f(x)是R上的减函数，
因为x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，
即x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1，
所以f(x1)0，
所以f(x)在[0,1)上单调递增，
因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，
所以f(x)在(－1,1)上单调递增，
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)＋2×4))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)－2×3))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))>f(0)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))>f(4)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2))).
题型三 函数的奇偶性与对称性
例3 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是( )
A．y＝(x－1)f(x－1)
B．y＝(x＋1)f(x＋1)
C．y＝xf(x)＋1
D．y＝xf(x)－1
答案 B
解析 构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
函数g(x)为奇函数，
故函数g(x)的图象的对称中心为原点．
函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度，
故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1,0)．
(2)(2022·扬州模拟)写出一个满足f(x)＝f(2－x)的偶函数f(x)＝________.
答案 cs πx(常数函数也可，答案不唯一)
解析 取f(x)＝cs πx，证明过程如下：
f(x)＝cs πx的定义域为R，
由f(－x)＝cs(－πx)＝cs πx＝f(x)，
故f(x)为偶函数，
又f(2－x)＝cs[π(2－x)]＝cs(2π－πx)＝cs πx＝f(x)．
思维升华 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
跟踪训练3 定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2,0)对称，且f(x)在[0,2)上单调递增，则( )
A．f(11)