(新高考)高考数学一轮复习讲义第2章§2.6指数与指数函数(含详解)

§2.6　指数与指数函数考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq \r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)eq \r(4,－44)＝－4.(　×　)(2)2a·2b＝2ab.(　×　)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)(4)若am0，且a≠1)，则m0且a≠1)的图象恒过定点________．答案　(1,3)3．已知a＝ SKIPIF 1 < 0 ，b＝ SKIPIF 1 < 0 ，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是________．答案　ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0，即a>b>1，又c＝ SKIPIF 1 < 0 0)，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________.答案　eq \f(1,3)解析　由 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45. SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 (x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.∴ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,3).教师备选(2022·杭州模拟)化简 SKIPIF 1 < 0 (a>0，b>0)的结果是(　　)A.eq \f(b,a) B.eq \f(a,b) C.eq \f(a2,b) D.eq \f(b2,a)答案　B解析　 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ab－1＝eq \f(a,b).思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1　(1)已知a>0，则 SKIPIF 1 < 0 化为(　　)A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 答案　B解析　原式＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .(2)计算： SKIPIF 1 < 0 －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))0＋eq \r(4,3－π4)＋ SKIPIF 1 < 0 ＝________.答案　π＋8解析　原式＝ SKIPIF 1 < 0 －1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8.题型二　指数函数的图象及应用例2　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　)A．a＝b＝0 B．a