(新高考)高考数学一轮复习讲义第8章§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲义第8章§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(含详解)，共20页。试卷主要包含了圆与圆的位置关系，直线被圆截得的弦长等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
(4)在圆中最长的弦是直径．( √ )
教材改编题
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心D．相离
答案 B
解析 圆心为(0,0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，而02．过点(0,1)且倾斜角为eq \f(π,3)的直线l交圆x2＋y2－6y＝0于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.eq \r(10) B．2eq \r(10)
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
答案 D
解析 过点(0,1)且倾斜角为eq \f(π,3)的直线l：y－1＝eq \r(3)x，即eq \r(3)x－y＋1＝0.
∵圆x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
∴圆心坐标为(0,3)，半径r＝3，圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－3＋1|,2)＝1，
∴直线被圆截得的弦长|AB|＝2×eq \r(32－12)＝4eq \r(2).
3．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.
答案 ±2eq \r(5)或0
解析 两圆的圆心距d＝eq \r(－42＋a2)，
由两圆相切(外切或内切)，得eq \r(－42＋a2)＝5＋1或eq \r(－42＋a2)＝5－1，解得a＝±2eq \r(5)或a＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案 C
解析 方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq \f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线与圆相交．
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2 弦长问题
例2 (1)(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为( )
A．6 B．8 C．12 D．16
答案 BC
解析 因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为eq \r(－3－02＋3＋12)＝5.
又圆C的半径为6，故弦长AB的最小值为
2eq \r(62－52)＝2eq \r(11).
又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值，为直径12，
故|AB|∈[2eq \r(11)，12]．
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
答案 B
解析 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq \r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq \r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
命题点3 切线问题
例3 (2022·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，圆心C(3,1)，半径r＝3，
所以直线l过圆心C(3,1)，
故3＋a－1＝0，故a＝－2，
所以点A(－1，－2)，
|AC|＝eq \r(3＋12＋1＋22)＝5，
|AB|＝eq \r(52－32)＝4.
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
例4 在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________．
答案 [2eq \r(2)，4)
解析 由圆的方程知，圆心C(2,0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略)，
设|AC|＝x，则x≥eq \f(|2－0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2).
∵AP，AQ为圆C的切线，
∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，
∴|AP|＝|AQ|＝eq \r(|AC|2－r2)＝eq \r(x2－4).
∵AC是PQ的垂直平分线，
∴|PQ|＝2×eq \f(|AP|·|PC|,|AC|)＝eq \f(4\r(x2－4),x)
＝4eq \r(1－\f(4,x2)).
∵x≥2eq \r(2)，
∴eq \f(1,2)≤1－eq \f(4,x2)<1，
∴2eq \r(2)≤|PQ|<4，
即线段PQ的长的取值范围为[2eq \r(2)，4)．
教师备选
1．(多选)(2022·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为( )
A．l与C可能相离
B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq \f(3\r(2),2)
D．l被C截得的最短弦长为4
答案 BD
解析 对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；
对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项正确；
对于C选项，当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心C到直线l的距离为d＝eq \f(\r(2),2)，
所以直线l被C截得的弦长为
2eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝3eq \r(2)，C选项错误；
对于D选项，圆心C到直线l的距离为
d＝eq \f(1,\r(k2＋1))≤1，
所以直线l被C截得的弦长为2eq \r(5－d2)≥4，D选项正确．
2．过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为________，∠ACB＝________.
答案 x＋eq \r(3)y－3＝0 eq \f(2π,3)
解析 圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，验证知点P在圆内，当∠ACB最小时，|AB|最短，即CP和AB垂直，因为CP的斜率
kCP＝eq \f(\f(\r(3),2)－0,\f(3,2)－1)＝eq \r(3)，
所以直线AB的斜率为－eq \f(\r(3),3)，
所以直线l的方程为y－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
即x＋eq \r(3)y－3＝0.
此时|CP|＝eq \f(|2|,\r(1＋3))＝1，
所以∠ACP＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(2π,3).
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案 ABD
解析 圆心C(0,0)到直线l的距离
d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，
即a2＋b2＝r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
(2)(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于( )
A．±2 B．±eq \r(2) C．±eq \r(3) D．±eq \r(5)
答案 C
解析 由题可得圆心为(0,0)，半径为2，
则圆心到直线的距离d＝eq \f(|m|,\r(k2＋1))，
则弦长为2eq \r(4－\f(m2,k2＋1))，
则当k＝0时，弦长取得最小值为2eq \r(4－m2)＝2，解得m＝±eq \r(3).
(3)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
答案 eq \r(7)
解析 设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3,0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq \r(|PM|2－|MQ|2)＝eq \r(|PM|2－1)，
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，
∴|PM|的最小值为2eq \r(2)，
此时|PQ|＝eq \r(|PM|2－1)＝eq \r(2\r(2)2－1)＝eq \r(7).
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2022·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
答案 A
解析 |C1C2|＝eq \r(9＋a＋12)，
因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，
所以|a－2|解得a>3.
(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
答案 x－2y＋4＝0 2eq \r(5)
解析 联立两圆的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5eq \r(2)，
圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为
d＝eq \f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq \r(5).
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3eq \r(5))2＋l2，解得l＝eq \r(5)，
故公共弦长为2eq \r(5).
教师备选
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，
eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m).
解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为2×eq \r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7).
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪训练2 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B
解析 由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，
所以2eq \r(a2－\f(a2,2))＝2eq \r(2)，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq \r(2)小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
(2)(2022·长沙模拟)已知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(11,2)，则这两圆的公共弦长为( )
A．5 B．2eq \r(2) C．2 D．1
答案 C
解析 由题意知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，
圆C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，将两圆的方程相减，得x＋y－3＝0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.
又因为圆C1的圆心为(－2,1)，半径r＝3，
所以圆C1的圆心到直线x＋y－3＝0的距离
d＝eq \f(|－2＋1－3|,\r(2))＝2eq \r(2).所以这两圆的公共弦的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(32－2\r(2)2)＝2.
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apllnius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，
则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得eq \r(x＋m2＋y2)＝λeq \r(x－m2＋y2)，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)m))2＋y2＝eq \f(4λ2m2,λ2－12)，轨迹为以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ2＋1,λ2－1)m，0))为圆心，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2λm,λ2－1)))为半径的圆．
例1 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，0))
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得eq \r(x＋22＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(10,3)))2＋y2＝eq \f(64,9)，
所以点P的轨迹的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，0)).
(2)已知圆O：x2＋y2＝1和点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，若定点B(b，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b≠－\f(1,2)))和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________．
答案 2 eq \f(3,4)
解析 设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，
得(x－b)2＋y2＝λ2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋y2))，
整理得x2＋y2－eq \f(2b＋λ2,1－λ2)x＋eq \f(b2－\f(1,4)λ2,1－λ2)＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2b＋λ2,1－λ2)＝0，,\f(b2－\f(1,4)λ2,1－λ2)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,b＝－2.))
如图所示，S△MAB＝eq \f(1,2)|AB|·|yM|，
由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0,1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB的面积的最大值为eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－－2))×1＝eq \f(3,4).
例2 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解 (1)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y＝2x－4，))得圆心为C(3,2)．
切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.
圆心C到切线的距离d＝eq \f(|3k＋3－2|,\r(1＋k2))＝r＝1，
得k＝0或k＝－eq \f(3,4).
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知eq \r(x2＋y－32)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简得x2＋(y＋1)2＝4.
即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，
可记为圆D.
又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．故1≤|CD|≤3，
其中|CD|＝eq \r(a2＋2a－32).
解得0≤a≤eq \f(12,5).
即圆心C的横坐标a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5))).
课时精练
1．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝eq \r(－1－32＋2－22)＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.
2．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0
答案 C
解析 当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，
设切线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0，
则eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝eq \f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
3．(2022·沧州模拟)若圆C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则m等于( )
A．26 B．31 C．39 D．43
答案 C
解析 将圆化为
(x＋8)2＋y2＝64－m(m<64)，
所以圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离
d＝eq \f(|－24＋4|,5)＝4，
该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，
所以42＋32＝64－m，解得m＝39.
4．(2022·广州模拟)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为( )
A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．3π
答案 B
解析 直线x＋ay－a－1＝0可化为
(x－1)＋a(y－1)＝0，
则当x－1＝0且y－1＝0，
即x＝1且y＝1时，等式恒成立，
所以直线恒过定点M(1,1)，
设圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，
当MC⊥AB时，|AB|取得最小值，
且最小值为2eq \r(r2－|MC|2)＝2eq \r(4－2)＝2eq \r(2)，
此时弦长AB对的圆心角为eq \f(π,2)，
所以劣弧AB的长为eq \f(π,2)×2＝π.
5．(2022·青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是( )
A．“m>1”是曲线C表示圆的充要条件
B．当m＝3eq \r(3)时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1
C．“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件
D．当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点
答案 C
解析 对于A，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0⇒(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1，曲线C要表示圆，
则m2－1>0⇒m<－1或m>1，
所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误；
对于B，m＝3eq \r(3)时，直线l：x＋eq \r(3)y＋1＝0，
曲线C：(x＋2)2＋(y＋3eq \r(3))2＝26，
圆心到直线l的距离
d＝eq \f(|－2＋\r(3)×－3\r(3)＋1|,\r(1＋3))＝5，
所以弦长＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(26－25)＝2，故B错误；
对于C，若直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－6－m2＋3|,\r(9＋m2))＝eq \r(m2－1)⇒m＝±3，
所以“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；
对于D，当m＝－2时，曲线C：(x＋2)2＋(y－2)2＝3，其圆心坐标为(－2,2)，r＝eq \r(3)，
曲线C与圆x2＋y2＝1的圆心距为eq \r(－2－02＋2－02)＝2eq \r(2)>eq \r(3)＋1，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误．
6．(多选)(2022·海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )
A．圆O1和圆O2有两条公切线
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)
答案 ABD
解析 对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；
对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)，D正确．
7．(2021·天津)若斜率为eq \r(3)的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________.
答案 eq \r(3)
解析 设直线AB的方程为y＝eq \r(3)x＋b，
则点A(0，b)，
由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，
则eq \f(|b－1|,2)＝1，
解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，
因为|BC|＝1，故|AB|＝eq \r(|AC|2－|BC|2)＝eq \r(3).
8．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
答案 8
解析 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，
半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)时，求直线l的方程．
解 (1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，
则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，
其圆心为(0,4)，半径r＝2，
若直线l与圆C相切，则有eq \f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝2，
解得a＝－eq \f(3,4).
(2)设圆心C到直线l的距离为d，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，
即2＋d2＝4，解得d＝eq \r(2)，
则有d＝eq \f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝eq \r(2)，
解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，
S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，故△POM的面积为eq \f(16,5).
11．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为eq \r(2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)
C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3)
答案 A
解析 到原点的距离为eq \r(2)的点的轨迹方程为
圆C1：x2＋y2＝2，
因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为eq \r(2)，
转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，
∵两圆的圆心和半径分别为
C1(0,0)，r1＝eq \r(2)，C(a，a)，r＝2eq \r(2)，
∴r－r1<|C1C|∴eq \r(2)解得实数a的取值范围是(－3，－1)∪(1,3)．
12．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则实数b的取值范围是( )
A．(－∞，1－5eq \r(2))∪(1＋5eq \r(2)，＋∞)
B．(1－5eq \r(2)，1＋5eq \r(2))
C．(－∞，1－eq \r(2))∪(1＋eq \r(2)，＋∞)
D．(1－eq \r(2)，1＋eq \r(2))
答案 D
解析 由C：(x－1)2＋(y－2)2＝9知圆心C(1,2)，半径为3，
若圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，
则点C到直线l：x－y＋b＝0的距离d<1，
∴eq \f(|1－2＋b|,\r(12＋－12))<1，
∴1－eq \r(2)13．(2022·邯郸模拟)已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
答案 D
解析 设P(a，b)，则a＋b＝4，
以OP为直径的圆的方程是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(b,2)))2＝eq \f(1,4)(a2＋b2)，
与圆O的方程x2＋y2＝4相减，
得直线AB的方程为ax＋by＝4，
即ax＋by－4＝0，
因为a＋b＝4，所以b＝4－a，
代入直线AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0，
即a(x－y)＋4y－4＝0，当x＝y且4y－4＝0，即x＝1，y＝1时该方程恒成立，
所以直线AB过定点N(1,1)，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，|MN|＝eq \r(5)，
所以点M(3,2)到直线AB距离的最大值为eq \r(5).
14．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
答案 ACD
解析 设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq \f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq \f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq \f(11,\r(5))，4＋eq \f(11,\r(5))<5＋eq \r(\f(125,5))＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq \f(11,\r(5))－4，eq \f(11,\r(5))－4过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝eq \r(|MB|2－|MN|2)＝eq \r(52＋5－22－42)＝3eq \r(2)，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3eq \r(2)，故C，D都正确．
15.(多选)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)， SKIPIF 1 < 0 是以OD为直径的圆上一段圆弧， SKIPIF 1 < 0 是以BC为直径的圆上一段圆弧， SKIPIF 1 < 0 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法正确的是( )
A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C. SKIPIF 1 < 0 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程为x＋y＝eq \r(2)＋1
答案 BCD
解析 曲线W与x轴围成的图形由以(0,1)为圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上以(－1,0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为eq \f(π,2)＋eq \f(π,2)＋2＝2＋π≠2π，故A错误；
曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，共5个整点，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 所在的圆是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，
由直线和圆相切的条件可得
eq \f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq \f(|k＋t|,\r(1＋k2))，
解得k＝－1，t＝1＋eq \r(2)(1－eq \r(2)舍去)，
则其公切线方程为y＝－x＋1＋eq \r(2)，
即x＋y＝1＋eq \r(2)，故D正确．
16．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
图1
图2
(1)如图1，设母球A的位置为(0,0)，目标球B的位置为(4,0)，要使目标球B向C(8，－4)处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(2)如图2，若母球A的位置为(0，－2)，目标球B的位置为(4,0)，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向C(8，－4)处运动？
解 (1)点B(4,0)，C(8，－4)所在的直线方程为x＋y－4＝0，如图，
可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，
且在第一象限，设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为A′(a，b)，此时|A′B|＝2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b－4＝0，,\r(a－42＋b2)＝2，,a>0，b>0，))
解得a＝4－eq \r(2)，b＝eq \r(2)，
即A，B两球碰撞时，球A的球心坐标A′(4－eq \r(2)，eq \r(2))，
所以母球A的球心运动的直线方程为y＝eq \f(\r(2),4－\r(2))x，
即y＝eq \f(2\r(2)＋1,7)x.
(2)假设能使目标球B向C(8，－4)处运动，
则由(1)知球A需运动到A′(4－eq \r(2)，eq \r(2))处，且到达A′处前不与目标球B接触．
如图，设AA′与x轴的交点为D.
因为A′B的斜率为－1，所以∠A′BD＝45°.
因为AA′的斜率为eq \f(\r(2)＋2,4－\r(2))＝eq \f(5＋3\r(2),7)>1，
所以∠A′DB>45°.
所以∠DA′B为锐角．
过点B作BE⊥AA′于点E，
因为|A′B|＝2，所以|BE|<2，
所以球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触，
所以不能使目标球B向C(8，－4)处运动．相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|