高考数学二轮复习专题04 平面向量问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题04　平面向量问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2
1．答案　C　解析　∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，∴a·b＝1．故选C．
2．(2022·全国乙文) 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)
A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5
2．答案　D　解析　因为a－b＝(4，－3)，，所以|a－b|＝5．故选D．
3．(2022·全国甲理) 设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)b＝________．
3．答案　11　解析　设a，b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cosθ＝，又|a|＝1，|b|＝3，
所以a·b＝|a||b| cosθ＝1，所以(2a＋b)b＝2a·b＋|b|2＝11．故答案为11．
4．(2022·全国甲文) 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
4．答案　－　解析　由题意知a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－，故答案为－．
5．(2022·新高考Ⅰ) 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n　　　　　B．－2m＋3n　　　　　C．3m＋2n　　　　　D．2m＋3n
5．答案　B　解析　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，
所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．
爪子定理　如图1，＝＋，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．

如图2，＝2＋2，所以＝－＝m－n．没答案．
6．(2022·新高考Ⅱ) 已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若＝，则t＝(　　)
A．－6　　　　　　　　B．－5　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6
6．答案　C　解析　c＝(3＋t，4)，cos＝cos，即＝，解得t＝5，故选C．
7．(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·
的取值范围是(　　)
A．[－5，3]　　　　　　B．[－3，5]　　　　　　C．[－6，4]　　　　　　D．[－4，6]
7．答案　D　解析　依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，

因为PC＝1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π]，所以＝(3－cosθ，－sinθ)，＝(－cosθ，4－sinθ)，所以·＝(－cosθ)(3－cosθ)＋(4－sinθ)(－sinθ)＝cos2θ－3cosθ－4sinθ＋sin2θ＝1－3cosθ－4sinθ＝1－5sin(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，因为－1≤sin(θ＋φ)≤1，所以－4≤1－5sin(θ＋φ)≤6，即·∈[－4，6]，故选D．
极化恒等式法　设AB的中点为M，连接CM，则||＝，即点M在如图所示的圆弧上，则·
＝||2－||2＝||2－≥(|CM|－1)2－＝－4．·＝||2－||2＝||2－≤(|CM|＋1)2－＝6．

【知识总结】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．向量a与b的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
3．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
4．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
5．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
6．利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
【常用结论】
1．“爪”子定理
形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则＝＋，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
　　　　　
形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
形式1与形式2中与的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐)
2．极化恒等式三角形模式
如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．

记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
【同类问题】
题型一　向量的线性运算
1．(2015·全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋　　　　　　　　　　B．＝－　　
C．＝＋　　　　　　　　　　　D．＝－
1．答案　A　解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A．
2．(2014·全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
2．答案　A　解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A．
3．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－　　　　B．－　　　　C．＋　　　　D．＋
3．答案　A　解析　∵E是AD的中点，∴＝－，∴＝＋＝－＋，又知D是BC的
中点，∴＝(＋)，因此＝－(＋)＋＝－．
4．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则
＝(　　)

A．a－b　　　　　B．a＋b　　　　　C．－a＋b　　　　　D．－a－b
4．答案　B　解析　如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝＝，
∴＝，易知△AHD∽△FHG，从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b，故选B．
5．(多选)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则(　　)
A．＝－　　B．＝－＋　　C．＋＝　　D．＋＋＝0
5．答案　CD　解析　如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以＝＝－，
故A不正确；＝＋＝＋＝＋(＋)＝－－＝－＋，故B不正确；＝－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以＋＋＝＋＋＝×(＋)＋×(＋)＋×(＋)＝0，即＋＋＝0，故D正确．故选CD．

6．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)

A．x＝，y＝　　　　B．x＝，y＝　　　　C．x＝，y＝　　　　D．x＝，y＝
6．答案　A　解析　由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋
，所以x＝，y＝．
7．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
7．答案　　解析　由题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，
λ2＝，即λ1＋λ2＝．
8．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．答案　A　解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×＝＋．因为＝λ
＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝＋＝．
9．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋
μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．2
9．答案　A　解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝．

10．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，
且tan α＝7，与的夹角为45°．若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝__________．

10．答案　3　解析　以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝
7，α∈，得sinα＝，cosα＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cosα＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C．又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin(α＋45°)＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin(α＋45°)＝，即B，由＝m＋n，可得解得所以m＋n＝＋＝3．
题型二　平面向量的平行与垂直
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
11．答案　　解析　由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝．
12．(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
12．答案　　解析　2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．
13．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝(　　)
A． 　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
13．答案　B　解析　解法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯
一实数μ，使得a＋λbμc，所以解得
解法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，由a＋λb与c共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－．
14．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________．
14．答案　－　解析　由≠，所以a与b不共线，又a－3b＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么
当ma＋nb与a－3b共线时，有＝，即得＝－．
15．已知O为坐标原点，点A(6，3)，若点P在直线OA上，且||＝||，P是OB的中点，则点B的坐
标为_________．
15．答案　(4，2)或(－12，－6)　解析　∵点P在直线OA上，∴∥，又∵||＝||，∴＝±，
设点P(m，n)，则＝(m，n)，＝(6－m，3－n)．①若＝，则(m，n)＝(6－m，3－n)，∴解得∴P(2，1)，∵P是OB的中点，∴B(4，2)．②若＝－，则(m，n)＝－(6－m，3－n)，∴解得∴P(－6，－3)，∵P是OB的中点，∴B(－12，－6)．综上所述，点B的坐标为(4，2)或(－12，－6)．
16．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b　　　　　　B．2a＋b　　　　　　C．a－2b 　　　　　　D．2a－b
16．答案　D　解析　由题意得|a|＝|b|＝1，设a，b的夹角为θ＝60°，故a·b＝|a||b|cos θ＝．对A项，(a
＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0；对B项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0；对C项，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0；对D项，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0．
17．(2021·全国乙)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．
17．答案　　解析　方法一　a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)
＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝．
方法二　由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝．
18．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．
18．答案　　解析　由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0．因为a，b为单位向量，且夹角为45°，
所以k×12－1×1×＝0，解得k＝．
19．(2018·北京)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________．
19．答案　－1　解析　由题意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－
m)＝0，所以m＝－1．
20．(2017·全国Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
20．答案　7　解析　因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7．
题型三　面向量数量积
21．(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________．
21．答案　－16　解析　因为M是BC的中点，由极化恒等式得：·＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－
16．

22．如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·
＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

22．答案　B　解析　取AO中点Q，连接PQ，·＝·＝PQ2－AQ2＝－＝．
23．如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，
MN＝4，则·＝(　　)

A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
23．答案　C　解析　连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(
－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．
24．(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·
＝－1，则·的值为________．

24．答案　　解析　极化恒等式法　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒
等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4， ·＝2－2＝n2－m2＝－1．联立解得n2＝，m2＝．因此·＝2－2＝4n2－m2＝．即·＝．
坐标法　以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，如图：设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)　·＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4　·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝，c2＝　·＝·＝4a2－c2＋4b2＝．

基向量　·＝(－)(－)＝＝＝4，·＝(－)(－)＝＝－1，因此2＝，＝，·＝(－)(－)＝＝＝．
25．在梯形ABCD中，满足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，·＝2，则·的值为________．

25．答案　4　解析　过A点作AE平行于DC，交BC于E，取BE中点F，连接AF，过D点作DH平行
于AC，交BC延长线于H，E为BH中点，连接DE，，，又，AD∥BC，则四边形ADEF为平行四边形，，．

26．在三角形ABC中，D为AB中点，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别为BC，AC上的动点，且
EF＝1，则·最小值为________．
26．答案　　解析　设EF的中点为M，连接CM，则||＝，即点M在如图所示的圆弧上，则·
＝||2－||2＝||2－≥||CD|－|2－＝．

27．(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值
是(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－1
27．答案　B　解析　解析法　建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，
B(－1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)，

图①
则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－．当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－．故选B．
几何法　如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·．

图②
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||||的最大值．又当点P在线段AD上时，||＋||＝||＝2×＝，∴||||≤2＝2＝，∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－．故选B．
极化恒等式法　设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，∴·(＋)＝2·＝2||2－||2＝2||2－≥－．当且仅当M与P重合时取等号．

28．已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是_____．
28．答案　[－2，6]　解析　取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形
ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2．又由极化恒等式得：·＝|PD|2－|AB|2＝|PD|2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min＝1，所以·∈[－2，6]．

29．如图，设A，B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则·的取值范围是(　　)

A．[－1，3]　　　　　　B．[1，3]　　　　　　C．[－3，－1]　　　　　　D．[－3，1]
29．答案　A　解析　建立平面直角坐标系如图所示，可得O(0，0)，A(－2，0)，C(－1，0)，设B(2cos θ，
2sinθ)．θ∈[0，2π)．则·＝(1，0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1，3]．故选A．

极化恒等式法　连接OB，取OB的中D，连接CD，则·＝|CD|2－|BD|2＝CD2－1，又|CD|＝0，∴·的最小值为－1．|CD|＝2，∴·的最大值为3．
30．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实
数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．

30．答案　　　解析　第1空　因为＝λ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，所以·＝||·|
|·cos 120°＝－，解得||＝1．因为，同向，且BC＝6，所以＝，即λ＝．
第2空　通法　在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝．以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，

则N(a＋1，0)，且－≤a≤．又D，所以＝，＝，所以·＝a2－a＋＝2＋．所以当a＝时，·取得最小值．
极化恒等式法　如图，取MN的中点P，连接PD，则·＝2－2＝2－，当⊥时，||2取最小值，所以·的最小值为．