高考数学二轮复习专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题05　函数的奇偶性(对称性)与周期性问题

【高考真题】
1．(2022·全国乙文)若是奇函数，则_____，______．
1．答案　　　解析　因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为；．
2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数的定义域为R，且，则(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．0　　　　　　　　D．1
2．答案　A　解析　因为，令可得，，所以
，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数一个周期为6．
因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选．A．
3．(2022·全国乙理)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)
的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4．则(　　)
A．－21　　　　　　　　B．－22　　　　　　　　C．－23　　　　　　　　D．－24
3．答案　D　解析　因为的图像关于直线对称，所以，因为
，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，．
因为，所以，即，所以．
因为，所以，又因为，联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以，因为，所以．所以．故选．D．
4．(2022·新高考Ⅰ)已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，
均为偶函数，则(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
4．答案　BC　解析　因为，均为偶函数，所以即
，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误．故选．BC．
【常用结论】
1．函数奇偶性常用结论
结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0．
结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．
结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0．
推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．
推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c．
结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇．
结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
结论9：函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数；函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是奇函数；
结论10：函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．
结论11：函数y＝f(x)是可导的奇函数，则导函数y＝f′(x)是偶函数；函数y＝f(x)是可导的偶函数，则导函数y＝f′(x)是奇函数；
结论12：导函数y＝f′(x)是连续的奇函数，则所有的原函数y＝f(x)都是偶函数；导函数y＝f′(x)是连续的偶函数，则原函数y＝f(x)中只有一个是奇函数；
2．函数的对称性(奇偶性的推广)
(1)函数的轴对称
定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．
(2)函数的点对称
定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．
(3)两个等价关系
若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：
f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x)
若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：
f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x)
(4)原函数与导函数的对称性的关系
定理1：可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
定理2：可导函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．
3．函数周期性常用的结论
结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；
结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；
结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；
结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；
结论5：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a；
结论6：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a；
结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．
结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．
结论10：若函数f(x)可导，并且是周期为T的周期函数，则f′(x)也是的周期为T的周期函数；若函数f(x)可导，其导函数f′(x)是周期为T的周期函数，且f(0)＝f(T)，则f(x)也是的周期为T的周期函数
结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．
总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．
【同类问题】
题型一　函数的奇偶性与周期性
1．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝(　　)
A．－2　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．1
1．答案　A　解析　∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－
f(1)，∴f(1)＝0，f＝f＝－f＝－4＝－2，∴f＋f(1)＝－2．
2．(2021·全国甲)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2
＋b．若f(0)＋f(3)＝6，则f 等于(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．答案　D　解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，
所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0．①，由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6．②，根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2．根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2×2－2＝．
3．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2
023)＝(　　)
A．－3　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0
3．答案　C　解析　∵函数f(x＋2)是偶函数，函数f(x)关于x＝2对称，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(－x＋4)
＝f(x)，∴f(x＋4)＝f[－(－x)＋4]＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数的周期为8，∴f(－2 022)＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1．
4．(多选)(2022·威海模拟)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　)
A．f(x)是偶函数　　　B．f(x)是奇函数　　　C．f(x＋3)是偶函数　　　D．f(x)＝f(x＋4)
4．答案　CD　解析　∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．∵f(x－1)是偶函数，
∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2)．∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∵f(－x－1)＝f(x－1)，∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数．
5．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　)
A．f(3)＝0　　　B．f(3)＝f(5)　　　C．f(x＋3)＝f(x－1)　　　D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1
5．答案　ABC　解析　因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，所以C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)，f(－2)既相等又互为相反数，故f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋
f(4)＋…＋f(2 022)＝________．
6．答案　0　解析　∵f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，即f(1)＝0．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝0．
7．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正
确的是(　　)
A．f(0)是函数的最小值　　　　　　　　　　　　　B．f(x)的图象关于点(1，0)对称
C．f(x)在[2，4]上单调递增　　　　　　　　　　　D．f(x)的图象关于直线x＝2对称
7．答案　ABD　解析　A项，∵f(x＋2)＝－f(x)＝－f(－x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)是周
期为4的周期函数，又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数，∴在[0，2]上单调递增，∴f(0)是函数的最小值，正确；B项，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，∴f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，正确；C项，又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数，∴在[0，2]上单调递增，f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)在[2，4]上单调递减，错误；D项，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，正确．
8．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式
____________．
8．答案　f(x)＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)(答案不唯一)　解析　满足题意的函数为f(x)＝tan x，x≠＋
kπ(k∈Z)(答案不唯一)．

9．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，
则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
9．答案　4　解析　∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函
数f(x)是R上的奇函数，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4．∴f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4．
题型二　函数的奇偶性与对称性
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　)
A．y＝(x－1)f(x－1)　　　　B．y＝(x＋1)f(x＋1)　　　　C．y＝xf(x)＋1　　　　D．y＝xf(x)－1
10．答案　B　解析　构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)
，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)的图象的对称中心为原点．函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度，故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1，0)．
11．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)的周期为2，在[－1，0]上单调递增，那么f(x)在[1，3]
上(　　)
A．单调递增　　　　B．单调递减　　　　C．先增后减 　　　　D．先减后增
11．答案　C　解析　函数f(x)的周期为2，且f(x)在[－1，0]上单调递增且为偶函数，∴函数f(x)在[0，1]
上单调递减，∴函数f(x)在[1，3]上先增后减．
12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a＝ln 2，b＝，
c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是(　　)
A．f(b)