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高考数学二轮复习专题08 三角恒等变换问题(2份打包,教师版+原卷版)
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专题08 三角恒等变换问题
【高考真题】
1.(2022·新高考Ⅱ)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sinβ,则( )
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
1.答案 C 解析 由已知得,sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,即sinαcosβ
+cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0.所以tan(α-β)=-1.故选C.
2.(2022·浙江)若3sinα-sinβ=,α+β=,则sinα=__________,cos2β=__________.
2.答案 解析 α+β=,∴sinβ=cosα,即3sinα-cosα=,即(sinα-cosα)
=,令sinθ=,cosθ=,则sin(α-θ)=,∴α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,∴sinα=sin(θ++2kπ)=cosθ=,则cos2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.故答案为与.
【知识总结】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1⇒sin α=±.
(2)商的关系:=tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin α
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos α
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tan α
tanα
-tanα
-tanα
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
3.三角恒等变换
(1) 和角差角公式:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
tan(α+β)=,tan(α-β)=.
(2)二倍角公式:
sin 2α=2sinαcosα,
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan 2α=.
(3)降幂公式:
sin2α=,cos2α=.
(4)辅助角公式:
asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tan φ=.
【同类问题】
题型一 给角求值
1.tan 105°等于( )
A.2- B.-2- C.-2 D.-
1.答案 B 解析 tan 105°=tan(60°+45°)=====-2
-.
2.等于( )
A.1 B. C. D.
2.答案 B 解析 ====.
3.化简等于( )
A. B. C. D.2
3.答案 B 解析 原式====
=.
4.sin 40°(tan 10°-)等于( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
4.答案 D 解析 sin 40°·(tan 10°-)=sin 40°·=sin 40°·=sin
40°·=sin 40°·=sin 40°·=sin 40°·===-1.
5.cos 20°·cos 40°·cos 100°= .
5.答案 - 解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°=-cos 20°·cos 40°·cos 80°=
-=-=-=-=-=-.
6.的值为( )
A.1 B. C. D.2
6.答案 C 解析 原式====.
7.tan 67.5°-的值为( )
A.1 B. C.2 D.4
7.答案 C 解析 tan 67.5°-=-=-=
==2.
8.求值:= .
8.答案 8 解析 原式=====8.
9.已知m=2sin 18°,若m2+n=4,则等于( )
A.- B.- C. D.
9.答案 B 解析 因为m=2sin 18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°,因此
====-.
10.(多选)下列各式中,值为的是( )
A.cos2-sin2 B. C.2sin 195°cos 195° D.
10.答案 BC 解析 cos2-sin2=cos=cos =,故A错误;=·=
tan 45°=,故B正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故C正确;==≠,故D错误.
题型二 给值求值
11.(2021·全国乙)cos2-cos2等于( )
A. B. C. D.
11.答案 D 解析 因为cos =sin=sin ,所以cos2-cos2=cos2-sin2=cos
=cos =.
12.(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α等于( )
A. B. C. D.
12.答案 A 解析 由3cos 2α-8cos α=5,得3(2cos2α-1)-8cos α=5,即3cos2α-4cos α-4=0,解
得cos α=-或cos α=2(舍去).又因为α∈(0,π),所以sin α>0,所以sin α===.
13.(2019·全国Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α等于( )
A. B. C. D.
13.答案 B 解析 由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin αcos α=1-2sin2α+1,即2sin αcos α=1-sin2α.因
为α∈,所以cos α=,所以2sin α=1-sin2α,解得sin α=.
14.(2021·全国甲)若α∈,tan 2α=,则tan α等于( )
A. B. C. D.
14.答案 A 解析 方法一 因为tan 2α==,且tan 2α=,所以=
,解得sin α=.因为α∈,所以cos α=,tan α==.
方法二 因为tan 2α====,且tan 2α=,所以=,解得sin α=.因为α∈,所以cos α=,tan α==.
15.若cos=,则cos等于( )
A. B.- C. D.-
15.答案 C 解析 ∵cos=.∴cos=sin=sin=,∴cos=1
-2sin2=1-=.
16.已知sin+cos α=,则sin等于( )
A. B. C.- D.-
16.答案 D 解析 ∵sin+cos α=,∴sin αcos -cos αsin +cos α=,∴sin α-cos α
+cos α=,∴sin α+cos α=,∴cos=,∴sin=sin=cos 2=2cos2-1=2×2-1=-.
17.已知cos=2cos(π-α),则tan等于( )
A.-3 B. C.- D.3
17.答案 C 解析 由cos=2cos(π-α)得sin α=-2cos α,即tan α=-2,∴tan=
==-.
18.已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos= .
18.答案 - 解析 因为α,β∈,所以