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    高考数学二轮复习专题08 三角恒等变换问题(2份打包,教师版+原卷版)

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    高考数学二轮复习专题08 三角恒等变换问题(2份打包,教师版+原卷版)

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    专题08 三角恒等变换问题
    【高考真题】
    1.(2022·新高考Ⅱ)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sinβ,则(  )
    A.tan(α-β)=1  B.tan(α+β)=1  C.tan(α-β)=-1  D.tan(α+β)=-1
    1.答案 C 解析 由已知得,sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,即sinαcosβ
    +cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0.所以tan(α-β)=-1.故选C.
    2.(2022·浙江)若3sinα-sinβ=,α+β=,则sinα=__________,cos2β=__________.
    2.答案   解析 α+β=,∴sinβ=cosα,即3sinα-cosα=,即(sinα-cosα)
    =,令sinθ=,cosθ=,则sin(α-θ)=,∴α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,∴sinα=sin(θ++2kπ)=cosθ=,则cos2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.故答案为与.
    【知识总结】
    1.同角三角函数的基本关系
    (1)平方关系:sin2α+cos2α=1⇒sin α=±.
    (2)商的关系:=tan α.
    2.三角函数的诱导公式
    公式







    2kπ+α(k∈Z)
    π+α
    -α
    π-α
    -α
    +α
    正弦
    sin α
    -sinα
    -sinα
    sinα
    cosα
    cosα
    余弦
    cos α
    -cosα
    cosα
    -cosα
    sinα
    -sinα
    正切
    tan α
    tanα
    -tanα
    -tanα


    口诀
    函数名不变,符号看象限
    函数名改变,符号看象限
    3.三角恒等变换
    (1) 和角差角公式:
    cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,
    sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
    tan(α+β)=,tan(α-β)=.
    (2)二倍角公式:
    sin 2α=2sinαcosα,
    cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
    tan 2α=.
    (3)降幂公式:
    sin2α=,cos2α=.
    (4)辅助角公式:
    asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tan φ=.
    【同类问题】
    题型一 给角求值
    1.tan 105°等于(  )
    A.2-       B.-2-       C.-2       D.-
    1.答案 B 解析 tan 105°=tan(60°+45°)=====-2
    -.
    2.等于(  )
    A.1        B.        C.         D.
    2.答案 B 解析 ====.
    3.化简等于(  )
    A.        B.        C.         D.2
    3.答案 B 解析 原式====
    =.
    4.sin 40°(tan 10°-)等于(  )
    A.2        B.-2        C.1        D.-1
    4.答案 D 解析 sin 40°·(tan 10°-)=sin 40°·=sin 40°·=sin
    40°·=sin 40°·=sin 40°·=sin 40°·===-1.
    5.cos 20°·cos 40°·cos 100°= .
    5.答案 - 解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°=-cos 20°·cos 40°·cos 80°=
    -=-=-=-=-=-.
    6.的值为(  )
    A.1        B.        C.         D.2
    6.答案 C 解析 原式====.
    7.tan 67.5°-的值为(  )
    A.1        B.        C.2        D.4
    7.答案 C 解析 tan 67.5°-=-=-=
    ==2.
    8.求值:= .
    8.答案 8 解析 原式=====8.
    9.已知m=2sin 18°,若m2+n=4,则等于(  )
    A.-        B.-        C.        D.
    9.答案 B 解析 因为m=2sin 18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°,因此
    ====-.
    10.(多选)下列各式中,值为的是(  )
    A.cos2-sin2   B.   C.2sin 195°cos 195°   D.
    10.答案 BC 解析 cos2-sin2=cos=cos =,故A错误;=·=
    tan 45°=,故B正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故C正确;==≠,故D错误.
    题型二 给值求值
    11.(2021·全国乙)cos2-cos2等于(  )
    A.         B.         C.        D.
    11.答案 D 解析 因为cos =sin=sin ,所以cos2-cos2=cos2-sin2=cos
    =cos =.
    12.(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α等于(  )
    A.        B.        C.         D.
    12.答案 A 解析 由3cos 2α-8cos α=5,得3(2cos2α-1)-8cos α=5,即3cos2α-4cos α-4=0,解
    得cos α=-或cos α=2(舍去).又因为α∈(0,π),所以sin α>0,所以sin α===.
    13.(2019·全国Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α等于(  )
    A.        B.         C.        D.
    13.答案 B 解析 由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin αcos α=1-2sin2α+1,即2sin αcos α=1-sin2α.因
    为α∈,所以cos α=,所以2sin α=1-sin2α,解得sin α=.
    14.(2021·全国甲)若α∈,tan 2α=,则tan α等于(  )
    A.         B.        C.        D.
    14.答案 A 解析 方法一 因为tan 2α==,且tan 2α=,所以=
    ,解得sin α=.因为α∈,所以cos α=,tan α==.
    方法二 因为tan 2α====,且tan 2α=,所以=,解得sin α=.因为α∈,所以cos α=,tan α==.
    15.若cos=,则cos等于(  )
    A.         B.-        C.         D.-
    15.答案 C 解析 ∵cos=.∴cos=sin=sin=,∴cos=1
    -2sin2=1-=.
    16.已知sin+cos α=,则sin等于(  )
    A.        B.        C.-        D.-
    16.答案 D 解析 ∵sin+cos α=,∴sin αcos -cos αsin +cos α=,∴sin α-cos α
    +cos α=,∴sin α+cos α=,∴cos=,∴sin=sin=cos 2=2cos2-1=2×2-1=-.
    17.已知cos=2cos(π-α),则tan等于(  )
    A.-3        B.        C.-        D.3
    17.答案 C 解析 由cos=2cos(π-α)得sin α=-2cos α,即tan α=-2,∴tan=
    ==-.
    18.已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos= .
    18.答案 - 解析 因为α,β∈,所以

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