高考数学二轮复习专题10 解三角形问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题10　解三角形问题 【高考真题】1．(2022·全国甲理) 已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝________．【知识总结】1．正弦定理及其变形＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.2．余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.3．面积公式S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.【同类问题】题型一　三角形中基本量的计算1．(2021·全国乙)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝      ．2．(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．3．(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．4．(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．5．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB等于(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．6．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________．7．(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________．8．(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．39．在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝，AB＝3，AD＝2，若AC＝3，则CD为        ．10．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bsin A＝acos B，AB＝2，AC＝2，D为BC的中点，E为AC上的点，且BE为∠ABC的平分线，下列结论正确的是(　　)A．cos∠BAC＝－ 　　　　B．S△ABC＝3　　　　C．BE＝2 　　　　D．AD＝题型二　三角形的面积11．(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．12．(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝，则△BDC的面积是________．13．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为__________．14．(2017·浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．15．(2013·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　)A．2＋2　　　　　　　B．＋1　　　　　　　C．2－2　　　　　　　D．－116．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为________．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b－a)cosC＝ccosA，c＝3，sinA＋sinB＝2sinAsinB，则△ABC的面积为(　　)A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acosC，sinC＝，则△ABC的面积为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．或　　　　　　　　D．或19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)A．　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．或1　　　　　　　　D．或320．托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为        ．题型三　三角形中的最值(范围)问题21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是(　　)A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．22．在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．23．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sinC＋sin(B－A)＝sin2A，则角A的取值范围为(　　)A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．24．(2014·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．25．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．26．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为________．27．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinA＋bsinB＝csinC－asinB，则sin2Atan2B的最大值是__________．28．在△ABC中，若sinC＝2cosAcosB，则cos2A＋cos2B的最大值为________．29．设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则＝_____；tanB的最大值为________．30．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是(　　)A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．6