高考数学二轮复习专题15 立体几何中球的问题(2份打包，教师版+原卷版)

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专题15　立体几何中球的问题
【高考真题】
1．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，
则该球的表面积为(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
1．答案　A　解析　设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即
，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选A．
2．(2022·全国乙理) 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当
该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．答案　C　解析　设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD
对角线夹角为，则(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，又，则当且仅当即时等号成立，故选C．
3．(2022·新高考Ⅰ) 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l
≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
A．[18，]　　　　　B．[，]　　　　　C．[，]　　　　　D．[18，27]
3．答案　C　解析　∵ 球的体积为36π，所以球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则
l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h)2．所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝×(l2－)×＝(l4－)，所以V′＝(4l3－)＝l3 ()，当3≤l≤2时，V′＞0，当2≤l≤3时，V′＜0，所以当l＝2时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为，又l＝3时，V＝，l＝3时， V＝．所以正四棱锥的体积V的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是[，]．故选C．
【方法总结】
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．
空间几何体的外接球与内切球十大模型
1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．
可参考：侯永青工作室《2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破》
【题型突破】
1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的
表面积为(　　)
A．7π　　　　　　　B．14π　　　　　　　C．π　　　　　　　D．
1．答案　B　解析　三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角
线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是＝，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π×＝14π．

2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱
锥B－ACD的外接球的表面积为(　　)
A．5π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．10π　　　　　　　　D．34π
2．答案　D　解析　依题意，在三棱锥B－ACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3，
因此可将三棱锥B­ACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R＝＝，故三棱锥B－ACD的外接球的表面积为4πR2＝34π
3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体
积等于________.
3．答案　π　解析　如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，
则正方体的体对角线长即为球O的直径．∴CD＝＝2R，因此R＝，故球O的体积V＝＝π.

4．已知四面体P－ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB
＝2，则球O的表面积为________．
4．答案　9π　解析　　由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，可得图中四个直角三角形，且PC为△PBC，△PAC
的公共斜边，故球心O为PC的中点，由AC＝1，AB＝PB＝2，PC＝3，∴球O的半径为，其表面积为9π.
5．三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P－ABC的外接球的体
积为(　　)
A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．27π　　　　　　　　D．27π
5．答案　B　解析　因为三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC
≌△PAC．因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P－ABC的外接球．因为正方体的体对角线长为＝3，所以其外接球半径R＝．因此三棱锥P－ABC的外接球的体积V＝×＝π，故选B．

6．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为________．
6．答案　16　解析　将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，设正四面体ABCD
的外接球的半径为R，则πR3＝8π，解得R＝，因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有a＝2R＝2，所以a＝2．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD的棱长为a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝16．
7．表面积为的正四面体的外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7．答案　B　解析　表面积为的正四面体的棱长为，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为．
8．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是
________．
8．答案　7π　解析　在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE．∵AC＝AD＝BC＝BD
＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝．同理BE＝，取AB的中点为F，连接EF．由AE＝BE，得EF⊥AB．在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1，取EF的中点为O，连接OA，则OF＝．在Rt△OFA中，OA＝．同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π．
9．三棱锥中S－ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝．则三棱锥的外接球的表面积为______.
9．答案　14π　解析　如图，在长方体中，设AE＝a，BE＝b，CE＝c．则SC＝AB＝＝，SA
＝BC＝＝，SB＝AC＝＝，从而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π．

10．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC
＝BD＝，则a＝________.
10．答案　2　解析　由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长
方体，如图所示．设AF＝x，BF＝y，CF＝z，则＝＝，又4π×2＝9π，可得x＝y＝2，∴a＝＝2．
11．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．π
11．答案　A　解析　由题知此直棱柱为正三棱柱ABC－A1B1C1，设其上下底面中心为O′，O1，则外接球
的球心O为线段O′O1的中点，∵AB＝2，∴O′A＝AB＝，OO′＝O′O1＝1，∴OA＝＝，因此，它的外接球的半径为，故球O的表面积为．故选A．
12．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该
六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________.
12．答案　　解析　设正六棱柱底面边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，则a＝，底
面积为S＝6··＝，V柱＝Sh＝h＝，∴h＝，R2＝＋＝1，R＝1，球的体积为V＝.
13．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABC－A1B1C1外
接球的表面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．8π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　D．32π
13．答案　C　解析　如图所示，设底面边长为a，则底面面积为a2＝，所以a＝.又一个侧面的
周长为6，所以AA1＝2.设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE＝，A1E＝××＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半径R＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π，故选C．

14．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1
＝2，则该三棱柱的外接球的体积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．20π
14．答案　B　解析　设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示．

由题意可得外接球的球心O为O1O2的中点．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以BC＝，由正弦定理可得△ABC外接圆的直径2r＝2O2B＝＝，所以r＝＝，而球心O到截面ABC的距离d＝OO2＝AA1＝1，设直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半径为R，由球的截面性质可得R2＝d2＋r2＝12＋2＝，故R＝，所以该三棱柱的外接球的体积为V＝R3＝．故选B．
15．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二
面角A－EF－C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为(　　)
A．6π　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　C．4π　　　　　　　　D．3π
15．答案　B　解析　其中O1，O2分别为正方形AEFD和BCFE的中心，OO1，OO2分别垂直于这两个平
面．由于∠OGO2＝60°，O2G＝，所以OO2＝，而O2C＝CE＝，所以球的半径OC＝＝，所以球的表面积为4π·OC2＝5π．故选B．
16．三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)
A．18π　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．21π　　　　　　　　D．42π
16．答案　C　解析　由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC
的外接圆的直径为2r＝＝2，由于SA⊥底面ABC，所以△ABC外接圆的过圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径R＝＝，因此，三棱锥S－ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选C．
17．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若
AB＝2，则球O的表面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．32π
17．答案　C　解析　取CD的中点E，连接AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是
边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，设△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线于O，则O为外接球的球心，∵BE＝，BG＝，∴外接球的半径R＝＝＝2.∴四面体ABCD外接球的表面积为4πR2＝16π．故选C．
18．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠
BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．64π
18．答案　C　解析　在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，∴AC2＝AB2＋
BC2，即AB⊥BC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥BC，∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝，SA＝2为长、宽、高的长方体，∴球O的直径为＝4，故球O的表面积为4π×22＝16π．

另解　取SC的中点E，连接AE，BE，依题意，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，∴AC2＝AB2
＋BC2，即AB⊥BC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，BC⊥SB，AE＝SC＝BE，∴点E是三棱锥S－ABC的外接球的球心，即点E与点O重合，OA＝SC＝＝2，故球O的表面积为4π×OA2＝16π．
19．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点
都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．12π
19．答案　C　解析　易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且
点O满足OM＝PA＝1，则点O为三棱锥P－ABC外接球的球心．于是，该外接球的半径R＝OA＝＝＝．故该球的表面积S＝4πR2＝8π，故选C．

20．在三棱锥A－BCD中，AC＝CD＝，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面
上，则球的表面积是________．
20．答案　π　解析　由已知可得，BC⊥AB，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD，设三棱锥外接球的球心为
O，正三角形ABD的中心为O1，则OO1⊥平面ABD，连接O1B，OO1，OC，在直角梯形O1BCO中，有O1B＝，BC＝1，OC＝OB＝R，可得：R2＝，故所求球的表面积为4πR2＝π．
21．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接
球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
21．答案　C　解析　将边长为1的正方形，沿对角线把折起，使平面平面，
则，；三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为．
22．在三棱锥A－BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三
棱锥外接球的表面积为________．
22．答案　π　解析　取AB，CD的中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF＝BF
＝2，EF＝＝，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，所以OE＋OF＝，设外接球的半径为R，连接OA，OC，则有R2＝AE2＋OE2，R2＝CF2＋OF2，所以AE2＋OE2＝CF2＋OF2，()2＋OE2＝22＋OF2，所以OF2－OE2＝2，又OE＋OF＝，则OF2＝，R2＝，所以该三棱锥外接球的表面积为4πR2＝π．

23．已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂
直，AB＝3，AC＝，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为(　　)

A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．36π
23．答案　C　解析　如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中
点O′．△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选C．

24．在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，若，三棱
锥的各个顶点均在球上，则球的表面积为(　　)．
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
24．答案　D　解析　记外接圆圆心为，外接圆圆心为，连结，，则平面
，平面；取中点，连结，因为是边长为2的正三角形，所以过点，且；在中，，，设外接圆为，则，所以，故，所以有，因为为中点，所以，且；又平面平面，所以平面，平面；因此且，设三棱锥外接球半径为，则，因此，球的表面积为．故选D．

25．已知空间四边形，，，，，且平面平面
，则该几何体的外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
25．答案　B　解析　在三角形中，，，由余弦定理可得
，而在三角形中，，，，即为直角三角形，且为斜边，因为平面平面，所以几何体的外接球的球心为为三角形 的外接圆的圆心，设外接球的半径为，则，即，所以外接球的表面积，
26．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接
球的表面积为________．
26．答案　　解析　依题意得，圆锥底面半径，高．设圆锥外接球半
径为，则，即，解得：．外接球的表面积为．
27．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球
的体积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
27．答案　　解析　过点作底面ABC的垂线，垂足为，设为外接球的球心，连接，因
，，故，，又为直角三角形，，∴，∴，∴，∴．
28．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积
为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
28．答案　D　解析　由题意，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，令球心为，
，且，，又，
如图在直角三角形中，，即，，则该三棱锥外接球的表面积为．
29．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接
球的半径是　　
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
29．答案　D　解析　正三棱锥的外接球的球心满足，说明三角形在球的
大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：，棱锥的底面正三角形的高为，底面三角形的边长为，正三棱锥的体积为，解得，则此三棱锥外接球的半径是．
30．已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为
2，则此球的体积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
30．答案　C　解析　如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心
为O，

∵底面正方形的边长为，∴O′D＝1，∵正四棱锥的体积为2，∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3，∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2，即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝，∴V球＝πR3＝π×3＝．
31．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥
外接球的表面积是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
31．答案　D　解析　取的中点为，由三棱锥中，，二面角
的大小为，得到和都是正三角形，，，是二面角的平面角，即，设球心为，和中心分别为，，则平面，平面，，，外接球半径，外接球的表面积为．
32．已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，
则三棱锥外接球的表面积是________．
32．答案　　解析　取的中点，连接、，则，且，所以，二面
角的平面角为，且，则是边长为的正三角形，如下图所示，设和的外心分别为点、，则，过点、在平面内作和的垂线交于点，则为该三棱锥的外接球球心，易知，，所以，，，所以，球的半径为，因此，该三棱锥的外接球的表面积为．
33．已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四
面体且，则四面体的外接球的表面积为________．
33．答案　　解析　由边长为6的菱形中，，可知，
，在折起的四面体中，取 的中点，连接，，，则，，，面，为二面角的大小为，在，上分别取，，则，分别为三角形，的外接圆的圆心，过，分别做两个三角形的外接圆的垂线，交于，则为四面体外接球的球心，连接， 为外接球的半径．则，所以，所以，在三角形，，解得，在三角形中，余弦定理可得，即，所以外接球的表面积．
34．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，且面与底面
所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为________．
34．答案　　解析　由于为的外心，则，由题意知，平面，由勾
股定理易得，取的中点，由于为的外心，则，且，平面，平面，则，又，，平面，平面，，所以，，且平面与平面所成的二面角的平面角为，，因此，三棱锥的外接球的直径为，所以，，因此，该三棱锥的外接球的表面积为．
35．直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角
的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
35．答案　B　解析　如图，平面，是等腰三角形，，．设
，则，．设外接圆的半径为，则，即．四面体的外接球的半径满足．四面体的外接球的表面积，当时，．
36．已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O
的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．2
36．答案　B　解析　取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△AB
C所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2.

37．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB＝6，BC＝2，且四棱锥O－ABCD
的体积为8，则R等于(　　)
A．4　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
37．答案　A.　解析　如图，设矩形ABCD的中心为E，连接OE，EC，由球的性质可得OE⊥平面ABCD，
所以VO­ABCD＝·OE·S矩形ABCD＝×OE×6×2＝8，所以OE＝2，在矩形ABCD中可得EC＝2，则R＝＝＝4，故选A．

38．已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，
三棱锥P－ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
38．答案　D　解析　　依题意，记三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的
距离为h，则由VP­ABC＝S△ABCh＝××h＝得h＝.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h＝.又正△ABC的外接圆半径为r＝＝，因此R2＝r2＋2＝，所以三棱锥P－ABC的外接球的表面积为4πR2＝，故选D.
39．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径球面上，，则这
个球的表面积为_____________．
39．答案　16π　解析　由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示，因为
，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，则，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，所以，在直角中，，即球的半径为，所以球的表面积为．

40．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的
体积为________．
40．答案　　解析　如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离
为OM＝．∴底面圆半径r＝＝，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·×1＝．

41．三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三
棱锥的高的最大值为(　　)
A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．10
41．答案　C　解析　依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则＝，
解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为＝3，因此三棱锥P－ABC的高的最大值为5＋3＝8.
42．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC
体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．36π　　　　　　　　B．64π　　　　　　　　C．144π　　　　　　　　D．256π
42．答案　C　解析　∵S△OAB是定值，且VO-ABC＝VC-OAB，∴当OC⊥平面OAB时，VC-OAB最大，即VO-ABC
最大．设球O的半径为R，则(VO-ABC)max＝×R2×R＝R3＝36，∴R＝6，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×62＝144π．

43．已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝2．若三棱锥D－ABC体积的最大值为3，
则球O的表面积为________．
43．答案　16π　解析　由题意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圆半径r＝，当三棱锥的体积最大时，
VD­ABC＝S△ABC·h(h为D到底面ABC的距离)，即3＝×××h⇒h＝3，即R＋＝3(R为外接球半径)，解得R＝2，∴球O的表面积为4π×22＝16π．
44．在三棱锥A－BCD中，AB＝1，BC＝，CD＝AC＝，当三棱锥A－BCD的体积最大时，其外接球
的表面积为________．
44．答案　6π　解析　∵AB＝1，BC＝，AC＝，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC为直角三角形，当CD
⊥面ABC时，三棱锥A－BCD的体积最大，又∵CD＝，△ABC外接圆的半径为，故外接球的半径R满足R2＝＋＝，∴外接球的表面积为4πR2＝6π．

45．已知三棱锥D－ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2，若三棱锥D－ABC体
积的最大值为2，则球O的表面积为(　　)
A．8π　　　　　　　　B．9π　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
45．答案　D　解析　由AB＝BC＝2，AC＝2，可得AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为直角三角形，且AC
为斜边，所以过△ABC的截面圆的圆心为斜边AC的中点E．当DE⊥平面ABC，且球心O在DE上时，三棱锥D－ABC的体积取最大值，因为三棱锥D－ABC体积的最大值为2，所以S△ABC·DE＝2，即××22×DE＝2，解得DE＝3．设球的半径为R，则AE2＋OE2＝AO2，即()2＋(3－R)2＝R2，解得R＝．所以球O的表面积为4πR2＝4π×2＝．
46．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.
46．答案　解析　设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×·a2＝a2，其内切球半径为正
四面体高的，即r＝×a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.
47．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，
小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
47．答案　C　解析　当注入水的体积是该三棱锥体积的时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都
相等)，依题意，＝，得x＝2．易得小三棱锥的高为，设小球半径为r，则S底面·＝4··S底面·r，得r＝，故小球的表面积S＝4πr2＝．故选C．
48．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的
球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(　　)
A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
48．答案　D　解析　由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上，过正
四棱锥的高作组合体的轴截面如图：

其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．设PH＝h，易知Rt△PAO∽Rt△PHF，所以＝，即＝，解得h＝，故选D．
49．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为(　　)
A．π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．3π　　　　　　　　D．4π
49．答案　B　解析　将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R，则有2πR
＝3×，所以R＝1，设圆锥的内切球的半径为r，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h，因为圆锥的母线长为3，所以h＝＝2，所以＝，解得r＝，因此内切球的表面积S＝4πr2＝2π．故选B．
50．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.
50．答案　6　解析　设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2，设底面边长为
a，则×a＝1，所以a＝2．所以V＝×(2)2×2＝6．