高考数学二轮复习专题19 解析几何中的抛物线问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题19　解析几何中的抛物线问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则(　　)
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　D．
1．答案　B　解析　由题意得，，则，即点A到准线的距离为2，所以点A的
横坐标为，不妨设点A在x轴上方，代入得，，所以．故选B．
2．(2022·新高考Ⅰ) 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C
于P，Q两点，则(　　)
A．C的准线为　　　　　　　　　　　B．直线AB与C相切
C．　　　　　　　　　　D．
2．答案　BCD 　解析　将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为
，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；
因，，所以，而，故D正确．故选BCD．
3．(2022·新高考Ⅱ) 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，
其中A在第一象限，点，若，则(　　)
A．直线的斜率为　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　　　　　D．
3．答案　ACD　解析　

对于A，易得，由可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线AB的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确．故选ACD．
【知识总结】
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形




范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点




准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
离心率
e＝1

【题型突破】
题型一　抛物线的标准方程
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程
为(　　)
A．y2＝x　　　　　　B．y2＝2x　　　　　　C．y2＝4x　　　　　　D．y2＝8x
1．答案　B　解析　由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据
抛物线的定义可得＝，∴p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x．故选B．
2．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，
且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　)
A．y2＝9x　　　　　　B．y2＝6x　　　　　　C．y2＝3x　　　　　　D．y2＝x

2．答案　C　解析　法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设＝a，则
由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵＝|AF|＝3，＝3＋3a，∴2＝，即3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3．∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C．
　　　　　　　　
法二：由法一可知∠CBD＝60°，则由|AF|＝＝3，可知p＝3＝，∴2p＝3，∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
3．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝，则抛
物线C2的方程为____________．
3．答案　y2＝x　解析　由题意，知圆C1与抛物线C2的一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)．因
为|AB|＝，所以解得即A．将点A的坐标代入抛物线方程得＝2p×，所以p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x．
4．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，
若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝9x 　　　　　B．y2＝8x　　　　　C．y2＝3x 　　　　　D．y2＝x
4．答案　y2＝8x　解析　将双曲线方程化为标准方程得－＝1，联立⇒x＝3a，即点P
的横坐标为3a．而由⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的方程为y2＝8x．
5．抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若
C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．答案　D　经过第一象限的双曲线C2的渐近线方程为y＝x.抛物线C1的焦点为F，双曲线C2
的右焦点为F2(2，0)．因为y＝x2，所以y′＝x．所以抛物线C1在点M处的切线斜率为，即x0＝，所以x0＝p．因为F，F2(2，0)，M三点共线，所以＝，解得p＝，故选D．
6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两
点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝8y　　　　　B．x2＝4y　　　　　C．y2＝8x　　　　　D．y2＝4x
6．答案　C　解析　由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，联立消
去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x．
7．直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的
中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－12x　　　　　B．y2＝－8x　　　　　C．y2＝－6x　　　　　D．y2＝－4x
7．答案　B　解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8．又AB的中
点到y轴的距离为2，所以－＝2，所以x1＋x2＝－4，所以p＝4，所以所求抛物线的方程为y2＝－8x．故选B．
8．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的
渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
8．答案　x2＝16y　解析　因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝＝，所
以＝，所以渐近线方程为x±y＝0，因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为F，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y．
9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，
2)，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x　　B．y2＝2x或y2＝8x　　C．y2＝4x或y2＝16x　　D．y2＝2x或y2＝16x
9．答案　C　解析　因为抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，所以焦点F．设M(x，y)，由抛物线的
性质可得|MF|＝x＋＝5，所以x＝5－．因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心横坐标为，又由已知可得圆的半径也为，故可知该圆与y轴相切于点(0，2)，故圆心纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，所以M．将点M的坐标代入抛物线方程，得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C．
10．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且
该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．
10．答案　y2＝16x　解析　设满足题意的圆的圆心为M，根据题意可知圆心M在抛物线上，又因为圆的
面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，又由题意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8．所以抛物线方程为y2＝16x．
题型二　抛物线中的求值
11．设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．或　　　　　　　　D．或
11．答案　C　解析　如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF
中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为．

12．(2018·全国Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B
两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
12．答案　2　解析　法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y
＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
13．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________．
13．答案　4　解析　[一般解法]　设AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB
的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4．
[应用结论]法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′(图略)，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6，易知∠BAC＝α，所以sin α＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4．
法二：设直线AB的倾斜角为α，则|AF|＝，|BF|＝，则有＝2×，解得cos α＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4．
法三：∵|AF|＝6，|BF|＝3，＝＋＝，∴p＝4．
14．(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M
为FN的中点，则|FN|＝________．
14．答案　6　解析　如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线
的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF．

由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2．∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1．又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6．
15．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的
中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)

A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
15．答案　C　解析　[一般解法]　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的
定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．故选C．

[应用结论]法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．
法二　因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
16．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6
16．答案　B　解析　[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①．因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②．由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．
[应用结论]法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝＝，所以tanθ＝2．则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝．

法二　因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝．
17．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则
△OAB的面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
17．答案　D　解析　[一般解法]　由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，
即4x－4y－3＝0．与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6．因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝．联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝．根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝．
[应用结论]　由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12．原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝．
18．过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O
为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
18．答案　C　解析　解法1　设过P点的直线方程为y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，
令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±．∴直线PA，PB的方程分别为y＝(1＋)(x－2)－1，y＝(1－)·(x－2)－1，分别令y＝0，可得E(＋1，0)，F(1－，0)，即|EF|＝2．∴S△PEF＝×2×1＝，易求得A(2＋2，3＋2)，B(2－2，3－2)，∴直线AB的方程为y＝x＋1，|AB|＝8，又原点O到直线AB的距离d＝，∴S△OAB＝×8×＝2．∴△PEF与△OAB的面积之比为．故选C．
解法2　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，则＝＝．
19．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，
则·等于(　　)
A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．8
19．答案　D　解析　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得
解得或不妨设点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(4，4)．又∵抛物线的焦点为F(1，0)，∴＝(0，2)，＝(3，4)．∴·＝0×3＋2×4＝8．故选D．
20．如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设
A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
20．答案　B　解析　由题意得，焦点F(0,1)，对于①，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，
得消去x，得y2－6y＋1＝0，所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝，则lAM：y－yA＝(x－xA)，即y＝xAx－，lBM：y－yB＝(x－xB)，即y＝xBx－，联立lAM与lBM的方程得解得M．设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，得消去y，得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，所以yM＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，xM＝2，则④错误，故选B．
题型三　抛物线中的最值与范围
21．已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，
则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)
A．　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
21．答案　C　解析　抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的
定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝．

22．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最
小，此时点P的坐标为________．
22．答案　　解析　因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物
线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|．因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为．
23．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点
P的坐标为________．
23．答案　(2，2)　解析　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±，∵>2，∴A在抛物线内部．如
图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2)．

24．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，
则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)
A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．＋1
24．答案　C　解析　由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合．过
圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3．

25．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR
并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是(　　)
A．(0，2)　　　　　B．[2，＋∞)　　　　　C．(0，2]　　　　　D．(2，＋∞)
25．答案　D　解析　由题意知，抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线l的斜率存在且不为0，设
直线l的方程为y＝k(x－2)．由消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2＝，故x0＝＝，y0＝k(x0－2)＝，所以kOS＝＝，直线OS的方程为y＝x，代入抛物线方程，解得x3＝，由条件知k2＞0．所以＝＝k2＋2＞2．选D．
26．已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的
斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是 ．
26．答案　(2，＋∞)　解析　设直线l：x＝2y＋t，联立抛物线方程消去x得y2＝2p(2y＋t)⇒y2－4py－2pt
＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16p2＋8pt>0⇒t>－2p，y1＋y2＝4p，y1y2＝－2pt>0⇒t