高考数学二轮复习专题20 排列组合问题(2份打包，教师版+原卷版)

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1．(2022·新高考Ⅱ) 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
1．答案 B 解析 因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,
有 SKIPIF 1 < 0 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： SKIPIF 1 < 0 种不同的排列方式，故选B．
【方法总结】
1．解决排列组合综合问题的三大途径
(1)从特殊元素出发，事件分类，用加法；
(2)从特殊位置出发，事件分步，用乘法；
(3)从对立事件出发，用减法．
2．解决排列与组合问题的四大原则
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
3．解决排列与组合问题的十大方法
(1)重复排列住店法；(2)特色元素优先法；(3)相邻问题捆绑法；(4)相间问题插空法；(5)定序问题用除法；(6)分排问题直排法；(7)先选后排综合法；(8)多元问题分类法；(9)分球问题隔板法；(10)正难则反间接法．
【题型突破】
题型一 多面手问题
1．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和
日语的各一人到边远地区支教，则有________种不同的选法．
1．答案 20 解析 由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一 分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．
方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选．可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．
2．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，
现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有________种不同的选派法．
2．答案 185 解析 方法一 设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＝5(种)，A，
B都在内且当钳工的选派方法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(4,4)＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(4,4)＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)＝40(种)，所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．
方法二 5名男钳工有4名被选上的方法有Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,2)＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,4)＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．
方法三 4名女车工都被选上的方法有Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,2)＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法．
3．某歌舞有10人参加演出，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中
选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，则有________种不同的选法．
3．答案 675 解析 方法一 Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(0,3)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＝675(种)
方法二 Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(0,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,5)＝675(种)
4．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，
共有______种不同的选法．
4．答案 12 解析 Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)＝12(种)．
5．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现从中选出2名会唱歌的，1
名会跳舞的去参加文艺演出，则共有法______种．
5．答案 15 解析 Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,3)＝12(种)．
6．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工
作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．
6．答案 42 解析 可以分三类：第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)种选
法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3)种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)种选法．根据分类加法计数原理，一共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)＝42(种)不同的选法．
7．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安
排2人排版，2人印刷，有________种不同的安排方法．
7．答案 37 解析 Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(0,2) Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＝37(种)
8．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派
划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A．56种 B．68种 C．74种 D．92种
8．答案 D 解析 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方
法有Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(3,6)种，有一个“多面手”的选派方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(3,5)种，有两个“多面手”的选派方法有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(3,4)种，即共有20＋60＋12＝92(种)不同的选派方法．
9．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，
现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有( )种不同的选法．
A．225 B．185 C．145 D．110
9．答案 B 解析 方法一 Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)＋Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)＝185(种)．
方法二 Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,4)＝185(种)
方法三 Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,2) ＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(4,5)＝185(种)
10．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人．从中选出4人担任“一带一
路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．
10．答案 60 解析 Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,4)＝60(种)
题型二 特殊元素(位置)问题
11．(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________
个没有重复数字的四位数(用数字作答)．
11．答案 1 260 解析 若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(4,4)；若取的4个数
字包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)．综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(4,4)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝720＋540＝1 260．
12．如果一个三位数abc同时满足a>b且b