高考数学二轮复习专题23 统计问题(2份打包，教师版+原卷版)

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1．(2022·北京) 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位
社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 SKIPIF 1 < 0
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 SKIPIF 1 < 0
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
1．答案 B 解析 讲座前中位数为 SKIPIF 1 < 0 ,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是
SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 ,剩下全部大于等于 SKIPIF 1 < 0 ,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 SKIPIF 1 < 0 ,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为 SKIPIF 1 < 0 ，讲座前问卷答题的正确率的极差为 SKIPIF 1 < 0 ,所以D错．故选B．
2．(2022·全国乙文) 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶
图：
则下列结论中错误的是( )
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
2．答案 C 解析 对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 SKIPIF 1 < 0 ，A选项结论
正确．对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：
SKIPIF 1 < 0 ，B选项结论正确．对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值 SKIPIF 1 < 0 ，C选项结论错误．对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值 SKIPIF 1 < 0 ，D选项结论正确．故选C．
3．(2022·浙江) 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记
所抽取卡片上数字的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________， SKIPIF 1 < 0 _________．
3．答案 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解析 从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 SKIPIF 1 < 0 种取法，其中所抽取的
卡片上的数字的最小值为2的取法有 SKIPIF 1 < 0 种，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 的取值有1，2，3，4， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
4．(2022·新高考Ⅱ) 已知随机变量X服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
____________．
4．答案 SKIPIF 1 < 0 解析 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【知识总结】
1．独立重复试验与二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k．
2．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．
3．离散型随机变量的均值、方差
(1)离散型随机变量ξ的分布列为
离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n)．
(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值．
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差．
(3)数学期望、方差的性质．
①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．
②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
【题型突破】
题型一 统计图表
1．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开
展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三(1)，(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明该项教育越好)．下列说法正确的是( )
A．高三(2)班五项评价得分的极差为1.5
B．除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分
C．高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高
D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大
1．答案 C 解析 对于A，高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5，所以极差为9.5－8.5＝
1，A错误；对于B，两班的德育分相等，B错误；对于C，高三(1)班的平均数为eq \f(9.5＋9.25＋9.5＋9＋9.5,5)＝9.35.高三(2)班的平均数为eq \f(9.5＋8.5＋9＋9.5＋9,5)＝9.1，故C正确；对于D，两班的体育分相差9.5－9＝0.5，而两班的劳育得分相差9.25－8.5＝0.75, D错误．
2．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的
经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形统计图：
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入略有增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入不变
D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
2．答案 C 解析 因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的经
济收入为m，则建设后的经济收入为2m，A选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种植收入比建设前增加2m×37%－m×60%＝m×14%，故A正确；B选项，新农村建设后，其他收入比建设前增加2m×5%－m×4%＝m×6%>m×4%，即增加了一倍以上，故B正确；C选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，故C错误；D选项，新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的60%降为37%，故D正确．
3．(多选)(2021·绵阳模拟)在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般
是指和上一时期相比较的增长率．根据下图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )
A．2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌
B．2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌
C．2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大
D．2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低
3．答案 ABC 解析 对于A，观察图中同比曲线，除11月份同比为－0.5，其余均是正值，所以2020
年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌，A正确；对于B，观察图中环比曲线，有正有负，如2月份0.8,3月份－1.2，环比有涨有跌，B正确；对于C，观察图中同比曲线，1月份同比增加5.4，大于其他月份同比值，故2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大，C正确；对于D，观察图中环比曲线，3月份环比值－1.2,4月份－0.9，易知4月份消费价格比3月份低，故D错误．
4．若干年前，某老师刚退休的月退休金为4 000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该老
师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为( )
A．5 000元 B．5 500元 C．6 000元 D．6 500元
4．答案 A 解析 刚退休时就医费用为4 000×15%＝600(元)，现在的就医费用为600－100＝500(元)，
占退休金的10%，因此，目前该老师的月退休金为eq \f(500,0.1)＝5 000(元)．
5．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日～20日AQI指数的数据并绘成折线图如下：
下列叙述正确的是( )
A．这20天中AQI指数值的中位数略大于150
B．这20天中的空气质量为优的天数占eq \f(1,4)
C．10月6日到10月11日，空气质量越来越好
D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好
5．答案 B 解析 由折线图知，AQI指数值在100以上的有10个，在100以下的有10个，中位数是
100两边两个数的均值，观察比100大的数离100远点，因此两者平均值大于100但小于150，A错误；空气质量为优的有5天，占eq \f(1,4)，B正确；10月6日到10月11日，空气质量越来越差，C错误；10月上旬的空气质量AQI指数值在100以下的多，中旬的空气质量AQI指数值在100以上的多，上旬的空气质量比中旬的空气质量好，D错误．
6．我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快
速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是( )
A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
6．答案 C 解析 由条形图可得，5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加，故A正确；设备制
造商的经济产出前期增长较快，后期放缓，故B正确；设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C不正确；2025年开始信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势，故D正确．
7．某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分
成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，……，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于a即为优秀，如果优秀的人数为14，则a的估计值是( )
A．14 B．14.5 C．15 D．15.5
7．答案 B 解析 优秀人数所占的频率为eq \f(14,100)＝0.14，测试结果位于[13,14)的频率为0.060.14，所以a∈(14,15)，由题意可得0.06＋(a－14)×0.16＝0.14，解得a＝14.5.
8．(2021·全国甲)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
8．答案 C 解析 对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为(0.02＋
0.04)×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．
9．某网络销售平台实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品．根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额(单位：
万元)和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层饼图．根据双层饼图(季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比)，下列说法正确的是________．(填序号)
①2020年的总销售额为1 000万元；
②2月份的销售额为8万元；
③4季度的销售额为280万元；
④12个月的销售额的中位数为90万元．
9．答案 ①③ 解析 对于①，根据双层饼图得3季度的销售额为300万元，3季度的销售额占总销售额
的百分比为30%，所以2020年的总销售额为eq \f(300,30%)＝1 000(万元)，故①正确；对于②，2月份销售额为1 000×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(160,1 000)×100%－5%－6%))＝50(万元)，故②错误；对于③，4季度销售额为1 000×28%＝280(万元)，故③正确；对于④，根据双层饼图得12个月的销售额从小到大为(单位：万元)：50,50,60,60,60,80,90,100,100,110,120,120，所以12个月的销售额的中位数为eq \f(1,2)×(80＋90)＝85(万元)，故④错误．
10．调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互
联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是( )
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
10．答案 ABC 解析 对于A，互联网行业从业人员中仅90后从事技术和运营岗位的人数占总数的
56%×(39.6%＋17%)＝31.696%>30%，所以占三成以上，故A正确；对于B，互联网行业中仅90后从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%>20%，所以超过总人数的20%，故B正确；对于C，互联网行业中90后从事运营岗位的人数占总人数的56%×17%＝9.52%，而80前从事互联网行业的人数占总人数的3%，故互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；对于D，由于80后中从事技术岗位的人数所占比例不确定，所以互联网行业中从业人员中90后与80后，从事技术岗位的人数无法比较，故D不正确．
题型二 分布列
11．(多选)设离散型随机变量X的分布列如表：
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则( )
A．m＝0.1 B．n＝0.1 C．E(Y)＝－8 D．D(Y)＝－7.8
11．答案 BC 解析 由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，得m＋4n＝0.7，又由m＋0.1
＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4，从而得m＝0.3，n＝0.1，故A选项错误，B选项正确；E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C选项正确；因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D选项错误．
12．已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，则下列结论中不可能成立的是( )
A．a＝eq \f(1,3) B．a＝eq \f(2,3) C．k＝eq \f(1,2) D．k＝eq \f(3,2)
12．答案 D 解析 由题意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1
＋a)]2·(1－a)＝a(1－a)．因为E(ξ)＝D(ξ)，所以k－1＋a＝a(1－a)，所以k＝1－a2，又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,1－a≥0，))所以0≤a≤1，所以k＝1－a2∈[0,1]，故k＝eq \f(3,2)不成立．
13．已知随机变量X，Y的分布列如下：
则E(X)·E(Y)的最小值为( )
A．1 B.eq \f(4,3) C．2 D.eq \f(8,3)
13．答案 D 解析 由分布列的性质知，a＋b＋eq \f(1,2)＝1，eq \f(2,3)＋m＝1，所以a＋b＝eq \f(1,2)，m＝eq \f(1,3)，所以E(X)＝0×eq \f(1,2)
＋1×a＋2×b＝a＋2b，E(Y)＝eq \f(1,a)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,b)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3a)＋eq \f(1,3b)，所以E(X)·E(Y)＝(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3a)＋\f(1,3b)))＝eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)＋eq \f(4b,3a)＋eq \f(a,3b)≥eq \f(4,3)＋2eq \r(\f(4b,3a)×\f(a,3b))＝eq \f(8,3)，当且仅当eq \f(4b,3a)＝eq \f(a,3b)，即a＝2b时等号成立，故E(X)·E(Y)的最小值为eq \f(8,3).
14．设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：
则下列方差值中最大的是( )
A．D(ξ) B．D(|ξ|) C．D(2ξ－1) D．D(2|ξ|＋1)
14．答案 C 解析 由题意知a＋2a＋3a＝1，a＝eq \f(1,6)，E(ξ)＝－1×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,6)，E(|ξ|)＝1×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,3)
＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(7,6)，D(ξ)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(5,6)))2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(5,6)))2＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(5,6)))2＝eq \f(53,36)，D(|ξ|)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,6)))2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(7,6)))2＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(7,6)))2＝eq \f(29,36).D(ξ)>1>D(|ξ|)，D(2ξ－1)＝4×eq \f(53,36)＝eq \f(53,9)，D(2|ξ|＋1)＝4×eq \f(29,36)＝eq \f(29,9).其中D(2ξ－1)最大．
15．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地
位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为( )
A．eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
15．答案 B 解析 记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(1,3)×3,A\\al(4,4))＝eq \f(9,24)＝
eq \f(3,8)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)×2,A\\al(4,4))＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)×1,A\\al(4,4))＝eq \f(6,24)＝eq \f(1,4)，P(X＝4)＝eq \f(1,A\\al(4,4))＝eq \f(1,24)，则E(X)＝0×eq \f(3,8)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,4)＋4×eq \f(1,24)＝1.
16．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列
结论不正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4 C．D(3X＋2)＝2 D．D(X)＝eq \f(4,9)
16．答案 D 解析 ∵随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，∴P(X＝1)＝eq \f(2,3)，E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝
eq \f(2,3)，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq \f(2,3)＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq \f(2,9)＝2，故C正确；在D中，D(X)＝eq \f(2,9)，故D错误．
17．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，则( )
A．E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而增大
B．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大
C．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而减小
D．E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而减小
17．答案 B 解析 依题意E(ξ)＝0×x＋1×(1－x)＝1－x，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上是减函数．D(ξ)＝[0－(1－x)]2·x
＋[1－(1－x)]2·(1－x)＝－x2＋x，注意到函数y＝－x2＋x的开口向下，对称轴为x＝eq \f(1,2)，所以y＝－x2＋x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上是增函数，即D(ξ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上是增函数，故选B．
18．已知随机变量ξ的分布列为
若P(ξ2