高考数学二轮复习专题29 等差等比数列的综合问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题29　等差等比数列的综合问题
【高考真题】
1．(2022·全国甲理文) 记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
1．解析　(1)因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
2．(2022·新高考Ⅱ) 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
2．解析　(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，
所以原命题得证．
(2)由(1)知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，
故集合中的元素个数为．
3．(2022·浙江) 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
3．解析　(1)因为，所以，
所以，又，所以，所以，
所以，
(2)因为，，成等比数列，所以，
，，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，又，所以．
【知识总结】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝．
3．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
4．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
【题型突破】
1．(2017·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
1．解析　(1)设{an}的公比为q．由题设可得解得q＝－2，a1＝－2．
故{an}的通项公式为an＝(－2)n．
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n．
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)．
(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝－，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，求Tn．
2．解析　(1)由已知2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)，①
n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3n＋3，②
①－②得：2an＝3an－3an－1－2·3n⇒an＝3an－1＋2·3n，
故＝＋2，则bn－bn－1＝2(n≥2)．
又n＝1时，2a1＝3a1－9＋3，解得a1＝6，则b1＝＝2．
故数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2＋2(n－1)＝2n⇒an＝2n·3n．
(2)由(1)，得cn＝2·3n－2n
Tn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2(1＋2＋…＋n)＝2·－2·＝3n＋1－n2－n－3．
3．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数
列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．
3．解析　(1)设数列{an}的公差为d．由题意可知
整理得即∴an＝2n－1．
(2)由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36，
又S4Sn＝S，∴n2＝＝81，∴n＝9，公比q＝＝．
4．(2020·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m．
4．解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，根据题意，有解得所以an＝3n－1．
(2)令bn＝log3an＝log33n－1＝n－1，则Sn＝＝，
根据Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，可得＋＝，
整理得m2－5m－6＝0，因为m＞0，所以m＝6．
5．(2017·全国Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2
＋b2＝2．
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3．
5．解析　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1．
由a2＋b2＝2得d＋q＝3．①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6．②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1．
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0．解得q＝－5或q＝4．
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21．当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6．
6．(2019·全国Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
6．解析　(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0．
解得q＝－2(舍去)或q＝4．
因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1．
(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2．
7．(2016·全国Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
7．解析　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2．
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1．
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)n，求数列{bn}的前n项和Tn．
8．解析　(1)由题意可得：＝1＋2(n－1)，可得：Sn＝2n2－n．
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3．
当n＝1时，a1＝1对上式也成立．∴an＝4n－3(n∈N*)．
(2)∵＋＋…＋＝5－(4n＋5)，
∴n≥2时，＋＋…＋＝5－(4n＋1)，
相减可得：＝(4n－3)× (n≥2)，
又＝满足上式，∴＝(4n－3)× (n∈N*)．
∴bn＝2n．∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝2n＋1－2．
9．(2019·北京)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
9．解析　(1)设{an}的公差为d．因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d．
因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．
所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2．所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12．
(2)法一　由(1)知，an＝2n－12．
则当n≥7时，an>0；当n＝6时，an＝0；当n