高考数学二轮复习专题32 数列中分组求和法问题(2份打包，教师版+原卷版)

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2022年没考查
【方法总结】
分组转化法求和
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个可求和的数列，先分别求和，然后再合并．
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为可求和的数列(等差或等比数列)，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是可求和的数列(等比数列或等差数列)，可采用分组求和法求和．
【题型突破】
1．已知数列{an}为等差数列，其中a5＝3a2，a2＋a3＝8．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}中，b1＝1，b2＝2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和．
2．已知递增等比数列{an}的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列．
(1)求等比数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
3．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且a1＝2，S3＝12．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋4n，求数列{bn}的前n项和Tn．
4．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)))，a3＋a4＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a3)＋\f(1,a4)))．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝aeq \\al(2,n)＋lg2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
5．已知各项都不相等的等差数列{an}，a6＝6，又a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝ SKIPIF 1 < 0 ＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n．
6．由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前(4n＋3)项和T4n＋3．
7．若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N*)．
(1)证明数列{an}为等比数列，并求an；
(2)若λ＝4，bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,lg2an，n为偶数))(n∈N*)，求数列{bn}的前2n项和T2n．
8．已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝lg2an，且b1＋b2＋b3＝12．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令cn＝eq \f(4,bn·bn＋1)＋an，求数列{cn}的前n项和Sn．
9．已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝lg2an，且b1＋b2＋b3＝12．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令cn＝eq \f(4,bn·bn＋1)＋an，求数列{cn}的前n项和Sn．
10．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3＝4，a3是a2－2与a4的等差中项，若an＋1＝ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn))满足cn＝an＋1＋eq \f(1,b2n－1·b2n＋1)，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn))的前n项和Sn．
11．(2019·天津)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n为奇数，,b\s\d9(\f(n,2))，n为偶数.))求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－lg2an＋1．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝eq \f(bn,2n＋1)＋eq \f(1,nn＋1)，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
13．在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*．
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Sn．
14．(2021·新高考Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋1，n为奇数，,an＋2，n为偶数.))
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20项和．
15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．在①bn＝nan，②bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,lg2an，n为偶数，))③bn＝eq \f(1,lg2an＋1lg2an＋2)这三个条件中任选一个，补充在下
面
问题中，并解答．
问题：已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，其中a1，a2＋1，a3＋1成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记________，求数列{bn}的前2n项和T2n．
17．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5(a4－a3)，________．在
①b5＝4(b4－b3)，②bn＋1＝Sn＋2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{an－bn}的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，且a3＝5，S7＝49．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝ SKIPIF 1 < 0 ＋an，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn≥1 000，求n的取值范围．
19．已知等比数列{an}为递增数列，且a4＝eq \f(2,3)，a3＋a5＝eq \f(20,9)，设bn＝lg3eq \f(an,2)(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的前n项和Sn；
(2)令Tn＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1，求使Tn>0成立的最小值n．
20．已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式Sn＝kan＋1，k为不等于0的常数．
(1)试判断数列{an}是否为等比数列；
(2)若a2＝eq \f(1,2)，a3＝1．
①求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式；
②设bn＝lg2Sn，数列{cn}满足cn＝eq \f(1,bn＋3bn＋4)＋bn＋2· SKIPIF 1 < 0 ，数列{cn}的前n项和为Tn，当n>1时，求使eq \f(4,n－1)Tn