高考数学二轮复习专题41 导数中不等式的证明问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题41　导数中不等式的证明问题 【高考真题】1．(2022·北京) 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．    2．(2022·浙江) 设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：(ⅰ)若，则；(ⅱ)若，则．(注：是自然对数的底数)   3．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．   【方法总结】构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．【题型突破】1．已知函数f(x)＝ax－axlnx－1(a∈R，a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x＞1时，求证：＞－1．    2．已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－lnx．(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－．    3．(2021·全国乙)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．(1)求a；(2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1．    4．已知f(x)＝(x－1)ex＋ax2．(1)当a＝e时，求f(x)的极值；(2)对∀x>1，求证：f(x)≥ax2＋x＋1＋ln(x－1)．    5．已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋x＋1．(1)当a＝－2时，求f(x)的极值点；(2)当a＝0时，证明：对任意的x>0，不等式xex≥f(x)恒成立．       6．设函数f(x)＝x＋axln x(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的极大值点为x＝1，证明：f(x)≤e－x＋x2．      7．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3．(1)若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞－恒成立．    8．已知函数f(x)＝ln x＋，g(x)＝e－x＋bx，a，b∈R，e为自然对数的底数．(1)若函数y＝g(x)在R上存在零点，求实数b的取值范围；(2)若函数y＝f(x)在x＝处的切线方程为ex＋y－2＋b＝0．求证：对任意的x∈(0，＋∞)，总有f(x)>g(x)．    9．已知f(x)＝xlnx．(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－成立．     10．(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝aex－lnx－1．(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a的值并求f(x)的单调区间；(2)求证：当a＝时，f(x)≥0．      11．已知函数f(x)＝x－1－alnx．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，·…·＜m，求m的最小值．       12．已知函数f(x)＝ln(1＋x)．(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，<f(x)<x；(2)已知e为自然对数的底数，求证：∀n∈N*，<·…·<e．           13．已知f(x)＝ln x－x＋a＋1．(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(2)求证：当x＞1时，在(1)的条件下，x2＋ax－a＞xlnx＋成立．       14．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2．      15．已知函数f(x)＝ln x－．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设m>n>0，求证：lnm－lnn>．       16．已知函数f(x)＝＋ln x在(1，＋∞)上是增函数，且a>0．(1)求a的取值范围；(2)若b>0，试证明<ln<．       17．设函数f(x)＝xln(ax)(a>0)．(1)设F(x)＝f(1)x2＋f′(x)，讨论函数F(x)的单调性；(2)过两点A(x1，f′(x1))，B(x2，f′(x2))(x1<x2)的直线的斜率为k，求证：<k<．     18．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数存在两个极值点，，且，若，求证：．    19．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，求证：．     20．已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0平行，求k的值；(2)若对于任意x1，x2∈(0，3]，且x1<x2，都有f(x1)＋<f(x2)＋恒成立，求实数k的取值范围．