人教版数学九年级下册反比例函数全章复习与巩固 知识讲解 (含答案)
展开反比例函数全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；
2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
要点二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
要点三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点诠释：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
| 正比例函数 | 反比例函数 |
解析式 | ||
图 像 | 直线 | 有两个分支组成的曲线（双曲线） |
位 置 | ，一、三象限； | ，一、三象限 |
增减性 | ，随的增大而增大 | ，在每个象限，随的增大而减小 |
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
【典型例题】
类型一、确定反比例函数的解析式
1、已知函数是反比例函数，则的值为 .
【答案】
【解析】根据反比例函数概念，＝且，可确定的值.
【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0.
举一反三：
【变式】反比例函数图象经过点（2，3），则的值是（ ）.
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D；
反比例函数过点（2，3）．．
类型二、反比例函数的图象及性质
2、已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求的取值范围．
【思路点拨】由反比例函数性质知，当＞0时，在每个象限内随的增大而减小，由此可求出的取值范围，进一步可求出的取值范围．
【答案与解析】
解：由题意得：，解得，
所以，则＜3．
【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】已知反比例函数，其图象位于第一、第三象限内，则的值可为________（写出满足条件的一个的值即可）．
【答案】3（满足＞2即可）.
3、在函数（，为常数）的图象上有三点(－3，)、(－2，)、(4，)，则函数值的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】
∵ ||＞0，∴ －||＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，(－3，)、(－2，)在第二象限，(4，)在第四象限，∴ 它们的大小关系是：．
【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(－3，)、(－2，)在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以，点(4，)在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．
举一反三：
【变式1】（2020春•海口期中）在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C；
提示：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．故选C．
【变式2】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是( ) .
【答案】B ；
提示：因为从B的图像上分析，对于直线来说是，则，对于反比例函数来说，，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.
4、如图所示，P是反比例函数图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式．
【思路点拨】要求函数关系式，必须先求出的值，P点既在函数的图象上又是矩形的顶点，也就是说，P点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长．
【答案与解析】
解：设P点的坐标为(，)，由图可知，P点在第二象限，∴ ＜0，＞0．
∴ 图中阴影部分矩形的长、宽分别为－、．
∵ 矩形的面积为2，∴ －＝2，∴ ＝－2．
∵ ＝，∴ ＝－2．
∴ 此反比例函数的关系式是．
【总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线所得矩形面积为||这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．
举一反三：
【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小.
【答案】
解：∵，
且，
∴.
类型三、反比例函数与一次函数综合
5、已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(－3，4)，且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式．
【思路点拨】因为点(－3，4)是反比例函数与一次函数的图象的一个交点，所以把(－3，4)代入中即可求出反比例函数的表达式．欲求一次函数的表达式，有两个待定未知数，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一次函数图象上的点即可．由已知一次函数图象与轴的交点到原点的距离是5，则这个交点坐标为(－5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式．
【答案与解析】
解：因为函数的图象经过点(－3，4)，
所以，所以＝－12．
所以反比例函数的表达式是．
由题意可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则分两种情况讨论：
当直线经过点(－3，4)和(5，0)时，
有 解得
所以．
当直线经过点(－3，4)和(－5，0)时，
有 解得 所以．
所以所求反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为或．
【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏解．
举一反三：
【变式】如图所示，A、B两点在函数的图象上．
（1）求的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．
【答案】
解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A(1，6)，可得＝6．
设直线AB的解析式为．
∵ A(1，6)，B(6，1)两点在函数的图象上，
∴ 解得
∴ 直线AB的解析式为．
（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3．
类型四、反比例函数应用
6、（2020•兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．
（1）直接写出v与t的函数关系式；
（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．
①求两车的平均速度；
②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．
【答案与解析】
解：（1）设函数关系式为v=，
∵t=5，v=120，
∴k=120×5=600，
∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；
（2）①依题意，得
3（v+v﹣20）=600，
解得v=110，
经检验，v=110符合题意．
当v=110时，v﹣20=90．
答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；
②当A加油站在甲地和B加油站之间时，
110t﹣（600﹣90t）=200，
解得t=4，此时110t=110×4=440；
当B加油站在甲地和A加油站之间时，
110t+200+90t=600，
解得t=2，此时110t=110×2=220．
答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．
【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.
