高中数学高考单元测试四

这是一份高中数学高考单元测试四，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的最小正周期是 ( )
A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π
解：函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.故选B.
2．(eq \a\vs4\al(2017·天津))设θ∈R，则“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,12)))＜eq \f(π,12)”是“sinθ＜eq \f(1,2)”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：根据条件，由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,12)))＜eq \f(π,12)得0＜θ＜eq \f(π,6)，推出sinθ＜eq \f(1,2)，而当sinθ＜eq \f(1,2)时，取θ＝－eq \f(π,6)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)－\f(π,12)))＝eq \f(π,4)＞eq \f(π,12).故选A.
3．(eq \a\vs4\al(2016·江西三校联考))函数y＝sin2x的图象的一个对称中心为 ( )
A．(0，0) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))
解：因为y＝sin2x＝eq \f(1－cs2x,2)，令2x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以函数y＝sin2x的图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(1,2))).故选C.
4．(eq \a\vs4\al(2016·全国卷Ⅱ))函数f(x)＝cs2x＋6cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))的最大值为 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解：因为f(x)＝1－2sin2x＋6sinx＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx－\f(3,2)))2＋eq \f(11,2)，而sinx∈[－1，1]，所以当sinx＝1时，f(x)取最大值5.故选B.
5．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－cs2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；
②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(2π,3)；
③函数f(x)图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))；
④函数f(x)的递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.
则正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－cs2x＝cs2xcseq \f(π,3)－sin2xsineq \f(π,3)－cs2x＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，不是奇函数，①错；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝1，②正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝－sinπ＝0，③正确；令2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2,3)π，k∈Z，④正确．综上知正确结论的个数为3.故选C.
6．(eq \a\vs4\al(2018届湖南永州第三次联考))将函数f(x)＝sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|f(3)，所以2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ))>2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋kπ))，故不妨取k＝0，φ＝－eq \f(π,6)，f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,3)－\f(π,6)))＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))))，可将函数y＝2cseq \f(πx,3)的图象向右平移eq \f(1,2)个单位长度．故选A.
12．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(csαcs\f(3π,10)＋sinαsin\f(3π,10),sinαcs\f(π,5)－csαsin\f(π,5))
＝eq \f(cs\f(3π,10)＋tanαsin\f(3π,10),tanαcs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(cs\f(3π,10)＋2tan\f(π,5)sin\f(3π,10),2tan\f(π,5)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))
＝eq \f(cs\f(π,5)cs\f(3π,10)＋2sin\f(π,5)sin\f(3π,10),sin\f(π,5)cs\f(π,5))
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)cs\f(3π,10)＋sin\f(π,5)sin\f(3π,10)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,5)))sin\f(3π,10),\f(1,2)sin\f(2π,5))
＝eq \f(3cs\f(π,10),cs\f(π,10))＝3.故选C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知sinα＝eq \f(1,3)，则sin(2 019π－α)＝________.
解：sin(2 019π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq \f(1,3).故填eq \f(1,3).
14．cs43°cs77°＋sin43°cs167°的值为________．
解：cs43°cs77°＋sin43°cs167°＝ cs43°cs77°＋sin43°(－sin77°)＝cs120°＝－eq \f(1,2).故填－eq \f(1,2).
15．(eq \a\vs4\al(2017·北京))在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq \f(1,3)，则sinβ＝________.
解：如图，
作出单位圆，假设角α与角β终边与单位圆的交点分别为A，B，根据sinα＝eq \f(1,3)，得A的纵坐标为eq \f(1,3).α，β的终边关于y轴对称，则B的纵坐标为eq \f(1,3)，所以sinβ＝sinα＝eq \f(1,3).故填eq \f(1,3).
16．在△ABC中，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝7，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝6，则△ABC的面积的最大值为________．
解：设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由已知条件可知bccsA＝7，a＝6.由余弦定理可知36＝b2＋c2－14，故b2＋c2＝50，2bc≤b2＋c2＝50，故bc≤25.S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)bceq \r(1－cs2A)＝ eq \f(1,2)bceq \r(1－\f(49,（bc）2))＝eq \f(1,2)eq \r(（bc）2－49)≤eq \f(1,2)eq \r(252－49)＝12，当b＝c＝5时等号成立，故所求的最大值为12.故填12.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(eq \a\vs4\al(2017·江苏))已知向量a ＝(csx，sinx)，b＝(3，－eq \r(3))，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)因为a＝(csx，sinx)，b＝(3，－eq \r(3))，a∥b，所以－eq \r(3)csx＝3sinx.
若csx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cs2x＝1矛盾，故csx≠0.于是tanx＝－eq \f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝eq \f(5π,6).
(2)f(x)＝a·b＝(csx，sinx)·(3，－eq \r(3))
＝3csx－eq \r(3)sinx＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
因为x∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
从而－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≤eq \f(\r(3),2).
于是，当x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋eq \f(π,6)＝π，即x＝eq \f(5π,6)时，f(x)取到最小值－2eq \r(3).
18．(12分)(eq \a\vs4\al(2017·天津))在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝eq \f(3,5).
(1)求b和sinA的值；
(2)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))的值．
解：(1)在△ABC中，因为a＞b，故由sinB＝eq \f(3,5)，可得csB＝eq \f(4,5).
由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accsB＝13，所以b＝eq \r(13).
由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，得sinA＝eq \f(asinB,b)＝eq \f(3\r(13),13).
所以，b的值为eq \r(13)，sinA的值为eq \f(3\r(13),13).
(2)由(1)及a＜c，得csA＝eq \f(2\r(13),13)，所以sin2A＝2sinAcsA＝eq \f(12,13)，cs2A＝1－2sin2A＝－eq \f(5,13).
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))＝sin2Acseq \f(π,4)＋cs2Asineq \f(π,4)＝eq \f(7\r(2),26).
19．(12分)(eq \a\vs4\al(2018·哈师大附中高三三模))已知 a＝(2sinωx，sinωx＋csωx)，b＝(csωx， eq \r(3)(sinωx－csωx))，0