高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题1 第1讲 三角函数的图象与性质(小题)(1)

第1讲　三角函数的图象与性质(小题)热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角基本关系式1.三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq \f(sin α,cos α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).3.诱导公式：在eq \f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.例1　(1)(2019·黄冈调研)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝3x上，则sin 2θ等于(　　)A.－eq \f(4,5) B.－eq \f(3,5)C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)答案　C解析　因为角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝3x上，所以tan θ＝3，则sin 2θ＝eq \f(2sin θcos θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq \f(2tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).故选C.(2)已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))－2cos2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为(　　)A.eq \f(8,5) B.－eq \f(4,5) C.eq \f(4,3) D.－eq \f(2,3)答案　A解析　由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，∴tan α＝f′(1)＝－2，cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))－2cos2α－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－α))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋α))＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α＝eq \f(sin2α－2cos2α－3sin αcos α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(tan2α－3tan α－2,tan2α＋1)＝eq \f(4＋6－2,5)＝eq \f(8,5).跟踪演练1　(1)已知角α的终边上一点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(5π,6)，cos \f(5π,6)))，则角α的最小正值为(　　)A.eq \f(5π,6) B.eq \f(11π,6) C.eq \f(5π,3) D.eq \f(2π,3)答案　C解析　角α的终边上一点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(5π,6)，cos \f(5π,6)))，即为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，在第四象限，且满足cos α＝eq \f(1,2)，且sin α＝－eq \f(\r(3),2)，故α的最小正值为eq \f(5π,3)，故选C.(2)已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，则eq \f(sinπ－α－4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),5sin2π＋α＋2cos2π－α)等于(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.－eq \f(1,6)答案　D解析　∵sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则eq \f(sinπ－α－4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),5sin2π＋α＋2cos2π－α)＝eq \f(sin α－4cos α,5sin α＋2cos α)＝eq \f(2cos α－4cos α,10cos α＋2cos α)＝eq \f(－2,12)＝－eq \f(1,6).热点二　三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.2.图象变换：(先平移后伸缩)y＝sin xeq \o(――――――――→,\s\up7(向左φ>0或向右φ0倍) ,\s\do5(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)eq \o(―――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ).(先伸缩后平移)y＝sin xeq \o(―――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1, ω) ω>0倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝sin ωxeq \o(――――――――→,\s\up10(向左φ>0或右φ0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ).3.由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值：(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝eq \f(M＋m,2)，A＝eq \f(M－m,2).(2)T定ω：由最小正周期的求解公式T＝eq \f(2π,ω)，可得ω＝eq \f(2π,T).(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.要注意φ的范围.例2　(1)(2019·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)将函数y＝cos x的图象向左平移φ(0≤φa)，所以x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\f(π,3)，b－\f(π,3)))，由函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\f(π,3)，b－\f(π,3)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，不妨令a－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6)，则b－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(7π,6)))，所以b－a的最大值为M＝eq \f(7π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq \f(4π,3)；最小值为m＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq \f(2π,3)，所以M＋m＝2π，故选D.(2)设函数f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.(0,2)C.(1,2) D.[1,2)答案　C解析　由题意f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cos ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0).令ωx＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f(π,3ω)＋eq \f(kπ,ω)，k∈Z，因为f(x)的图象的一条对称轴在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))内，所以eq \f(π,6)