高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)

第2讲　三角恒等变换与解三角形(小题)

热点一　三角恒等变换

1.三角求值“三大类型”

“给角求值”“给值求值”“给值求角”.

2.三角恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等.

(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化.

例1　(1)(2019·榆林模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)

A.   B.

C.或   D.或

(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)

A.   B.

C.   D.

(3)－＋64sin220°＝________.

跟踪演练1　(1)已知sin＝，则cos等于(　　)

A.   B.

C.－   D.－

(2)(2019·吕梁模拟)已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　)

A.α＋β＝   B.α－β＝

C.α＋β＝   D.α＋2β＝

热点二　利用正弦、余弦定理解三角形

1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).

变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.

2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.

变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.

3.三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.

例2　(1)(2019·东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，·＝－2，且满足sin A＋sin C＝2sin B，则该三角形的外接圆的半径R为(　　)

A.  B.  C.  D.2

(2)(2019·葫芦岛调研)△ABC的周长为10＋2，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则△ABC的面积为(　　)

A.6  B.4  C.8  D.12

跟踪演练2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　)

A.4π  B.2π  C.π  D.

(2)(2019·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是(　　)

A.(0,3)  B.(1,3)  C.(0,1]  D.(1,2]

热点三　正弦、余弦定理的实际应用

1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等.

2.解决三角形应用题的基本思路

实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解.

3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：

(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理.

例3　(1)某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°的方向上，距A 12 海里处，灯塔C在A的北偏西30°的方向上，距A 8 海里处，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C与游轮的距离为(　　)

A.20 海里   B.8 海里

C.23 海里   D.24 海里

(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600 m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A，B在同一水平面上，则此楼高度CD＝________m.(精确到1 m)

跟踪演练3　(1)如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m.(取＝1.732)

(2)如图所示，为测量竖直旗杆CD的高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD的高度为________m.

真题体验

1.(2017·山东，理，9)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)

A.a＝2b  B.b＝2a  C.A＝2B  D.B＝2A

2.(2019·全国Ⅱ，理，10)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于(　　)

A.  B.  C.  D.

3.(2019·全国Ⅱ，理，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.

押题预测

1.已知sin 2α＝，α∈，则sin的值为________.

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，C是锐角，且a＝2，cos A＝，则△ABC的面积为________.

3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，C＝45°，c＝3，点P是平面ABC内的一个动点，若∠BPC＝60°，则△PBC面积的最大值是________.

A组　专题通关

1.(2019·沈阳市东北育才学校模拟)已知cos＝，则cos 2α等于(　　)

A.   B.－

C.   D.－

2.tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为(　　)

A.   B.

C.－   D.－

3.(2019·吕梁模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos B＝，则该三角形一定是(　　)

A.等腰三角形   B.直角三角形

C.等边三角形   D.等腰直角三角形

4.(2019·黄冈调研)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且C＝，c＝，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　　)

A.<x<1   B.<x<2

C.1<x<2   D.1<x<

5.(2019·甘肃省静宁县第一中学模拟)某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)

A.5 km   B.5 km

C.5 km   D.10 km

6.(2019·韶关调研)已知2coscos β－cos＝，则等于(　　)

A.－   B.－

C.   D.

7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)

A.1＋   B.2＋

C.4＋   D.5＋

8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝，则的最小值为(　　)

A.   B.

C.   D.

9.已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于(　　)

A.－或0   B.或0

C.－   D.

10.(2019·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是(　　)

①若a2＋b2<c2，则C>；

②若ab>c2，则C>；

③若a3＋b3＝c3，则C<；

④若2ab>(a＋b)c，则C>；

⑤若c2<2a2b2，则C<.

A.①②③   B.①②⑤

C.①③④   D.①③⑤

11.在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为(　　)

A.3   B.

C.3   D.

12.(2019·黄冈调研)已知圆C：x2＋(y－1)2＝R2与函数y＝2sin x的图象有唯一交点，且交点的横坐标为α，则等于(　　)

A.－2  B.2  C.－3  D.3

13.(2019·洛阳统考)已知tan＝2，则＝________.

14.(2019·韶关调研)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且＝，则A＝________.

15.(2019·茂名模拟)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与底面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号).

16.如图，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，且DE＝，则BE2＝________.

B组　能力提高

17.(2019·广东省中山一中等七校联考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B, C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC＝， AB＝AC＝4，那么O, A两点间距离的(　　)

A.最大值是4，最小值是4

B.最大值是8，最小值是4

C.最大值是4，最小值是2

D.最大值是8，最小值是2

18.已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝135°，则AP的最小值为________.