高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题1 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)

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热点一 三角形基本量的求解
求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；
第三步：求结果.
例1 (2019·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知acs A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，a2＋c2－b2＝eq \f(4\r(3),3)S，其中S为△ABC的面积.
(1)求sin C；
(2)若a－b＝eq \r(2)－eq \r(3)，求△ABC的周长.

跟踪演练1 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acs A＝bcs C＋ccs B.
(1)求A；
(2)若a＝7，b＝8，求c.
热点二 与三角形面积有关的问题
三角形面积的最值问题主要有两种解决方法：一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值.
例2 (2019·衡水质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))是acs B与bcs A的等差中项.
(1)求角A；
(2)若2a＝b＋c，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积.
跟踪演练2 (2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝3，sin 2C＋sin A＝0.
(1)求c；
(2)求△ABC的面积.
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热点三 以平面几何为背景的解三角形问题
解决以平面几何为载体的解三角形问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如大边对大角，最大角一定大于等于\f(π,3)))确定角或边的范围.
例3 (2019·深圳调研)如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cs∠BCD＝－eq \f(3,5).
(1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长；
(2)若∠CBD＝45°，求CD的长.
跟踪演练3 (2019·淮南模拟)如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且AC＝eq \r(3)，AD＝eq \f(3\r(2),2)，O为△ABC外接圆的圆心，且cs∠BOC＝－eq \f(1,3).
(1)求sin∠BAC的值；
(2)求△ABC的面积.
真题体验
(2019·全国Ⅰ，理，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
押题预测
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且taneq \f(A,2)taneq \f(B,2)＋eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan\f(A,2)＋tan\f(B,2)))＝1.
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为4eq \r(3)，a＝2，求边c的值.
A组 专题通关
1.(2019·湖南雅礼中学月考)如图，在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD＝α，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sin C；
(2)若eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝28，求AC的长.

2.(2019·湖南、江西名校联考)已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(eq \r(3)，cs x)，且函数f(x)＝m·n.
(1)若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且f(x)＝eq \f(2,3)，求sin x的值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \r(7)，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(7),3)bsin C，求△ABC的周长.
3.(2019·佛山市顺德区检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2bsin Ccs A＋asin A＝2csin B.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值.
4.(2019·河北衡水金卷质量测评)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝eq \f(3\r(6),2)，A＝60°，C＝45°.
(1)求c的值；
(2)以AB为一边向外(与点C不在AB同侧)作一新的△ABP，使得∠APB＝30°，求△ABP面积的最大值.
5.(2019·成都模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝eq \r(3)－1，∠ABC＝120°，∠ADC＝30°.
(1)若CD＝eq \r(6)，求AD；
(2)求四边形ABCD面积的最大值.