高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题6 第3讲 导数的简单应用(小题)

第3讲　导数的简单应用(小题)

热点一　导数的几何意义与定积分

应用导数的几何意义解题时应注意：

(1)f′(x)与f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，是一个常数；

(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；

(3)切点既在原函数的图象上也在切线上.

例1　(1)(2019·湖南省三湘名校联考)在二项式6的展开式中，其常数项是15.如图所示，阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形的面积为(　　)

A.＋   B.－

C.   D.

x－x2)dx＝－＝－.

(2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a>0，曲线f(x)＝3x2－4ax与g(x)＝2a2ln x－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为(　　)

A.0  B.－  C.－  D.－

跟踪演练1　(1)(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝则定积分的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)(2019·丹东质检)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，则a等于(　　)

A.e  B.2e  C.1  D.2

热点二　利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数单调性的关键：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；

(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.

例2　(1)(2019·武邑质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若2f(x)＋f′(x)>2，f(0)＝5，则不等式f(x)－4e－2x>1的解集为(　　)

A.(1，＋∞)   B.(－∞，0)

C.(－∞，0)∪(1，＋∞)   D.(0，＋∞)

(2)已知f(x)＝ln x－x2－2ax在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.{1}  B.{－1}  C.(0,1]  D.[－1,0)

跟踪演练2　(1)(2019·咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(0，π)，有f′(x)sin x>f(x)cos x，且f(x)＋f(－x)＝0，设a＝2f ，b＝f ，c＝－f ，则(　　)

A.a<b<c   B.b<c<a

C.a<c<b   D.c<b<a

(2)(2019·临沂质检)函数f(x)＝ax2－2ax＋ln x在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是(　　)

A.a∈   B.a∈

C.a∈   D.a∈

热点三　利用导数研究函数的极值、最值

利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：

(1)不能忽略函数f(x)的定义域；

(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；

(3)函数的极小值不一定比极大值小；

(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

例3　(1)(2019·东北三省三校模拟)若函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2(0<x1<x2)，则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤  B.a>e  C.a≤e  D.a>

(2)已知点M在圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上，点N在曲线y＝1＋ln x上，则线段MN的长度的最小值为________.

跟踪演练3　(1)(2019·天津市和平区质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(1)＝0，f′(1)＝0，但x＝1不是函数的极值点，则abc的值为________.

(2)已知a>0，f(x)＝，若f(x)的最小值为－1，则a等于(　　)

A.  B.  C.e  D.e2

真题体验

1.(2017·全国Ⅱ，理，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)

A.－1  B.－2e－3  C.5e－3  D.1

2.(2019·全国Ⅰ，理，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________.

3.(2018·全国Ⅰ，理，16)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________.

押题预测

1.已知6展开式的常数项为15，则等于(　　)

A.π   B.2＋π

C.   D.2＋

2.已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，若a＝f(1)，b＝f ，c＝－ef(－e)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a<b<c   B.b<c<a

C.a<c<b   D.b<a<c

3.已知函数f(x)＝(x－3)ex＋a(2ln x－x＋1)在(1，＋∞)上有两个极值点，且f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A.(e，＋∞)   B.(e,2e2)

C.(2e2，＋∞)   D.(e,2e2)∪(2e2，＋∞)

A组　专题通关

1.设函数y＝xsin x＋cos x的图象在点处切线的斜率为g(t)，则函数y＝g(t)的图象一部分可以是(　　)

2.(2019·甘青宁联考)若直线y＝kx－2与曲线y＝1＋3ln x相切，则k等于(　　)

A.3  B.  C.2  D.

3.(2019·怀化模拟)在(1＋x)4(2x－1)的展开式中，x2项的系数为a，则ʃ(ex＋2x)dx的值为(　　)

A.e＋1   B.e＋2

C.e2＋3   D.e2＋4

4.(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A.a＝e，b＝－1   B.a＝e，b＝1

C.a＝e－1，b＝1   D.a＝e－1，b＝－1

5.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)＝，则不等式f(x)－ex<0的解集为(　　)

A.   B.(0，＋∞)

C.   D.(－∞，0)

6.(2019·广州测试)已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)·ex－1－f(0)x＋x2，则f(x)的单调递增区间为(　　)

A.(－∞，0)   B.(－∞，1)

C.(1，＋∞)   D.(0，＋∞)

7.若函数f(x)＝ex－x2－ax(其中e是自然对数的底数)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x＋b，则函数g(x)＝在(0，＋∞)上的最小值为(　　)

A.－1  B.e  C.e－2  D.e2

8.若曲线y＝x－ln x与曲线y＝ax3＋x＋1在公共点处有相同的切线，则实数a等于(　　)

A.  B.－  C.－  D.

9.(2019·岳阳模拟)已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)＝32－x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

10.(2019·四川省六市联考)若函数y＝ex－e－x(x>0)的图象始终在射线y＝ax(x>0)的上方，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，e]   B.(－∞，2]

C.(0,2]   D.(0，e]

11.(2019·吉林调研)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对任意实数x，都有f(x)＝f(－x)＋2x，当x<0时，f′(x)<2x＋1，若f(1－a)≤f(－a)＋2－2a，则实数a的最小值为(　　)

A.－1  B.－  C.  D.1

12.(2019·江淮联考)若对∀x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<x2，都有<1，则m的最小值是(　　)

注：(e为自然对数的底数，即e＝2.718 28…)

A.  B.e  C.1  D.

13.(2019·福建适应性练习)已知定义在R上的函数f(x)＝ex＋1－ex＋x2＋2m(x－1)(m>0)，当x1＋x2＝1时，不等式f(x1)≥f(x2)恒成立，则实数x1的取值范围为________.

14.分别在曲线y＝ln x与直线y＝2x＋6上各取一点M与N，则|MN|的最小值为________.

15.(2019·衡水调研)已知函数f(x)＝x2＋tan θx＋3，在区间上是单调函数，其中θ是直线l的倾斜角，则θ的所有可能取值区间为________.

16.已知函数f(x)＝，m∈，x∈[1,2]，g(m)＝f(x)max－f(x)min，则关于m的不等式g(m)≥的解集为________.

B组　能力提高

17.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足(x＋xln x)f′(x)<f(x)对x∈恒成立，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.2f(1)>f(e)   B.e2f(1)>f(e)

C.2f(1)<f(e)   D.ef(1)<f(e)

18.(2019·洛阳统考)若函数f(x)＝ex－(m＋1)ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为(　　)

A.(－e2，－e)   B.

C.   D.