高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程(大题)(1)

这是一份高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程(大题)(1)，共10页。试卷主要包含了直角坐标与极坐标的互化等内容，欢迎下载使用。

热点一 极坐标与简单曲线的极坐标方程
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0.))
2.在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.
例1 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝eq \f(π,3)时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝eq \f(π,3)时，ρ0＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3).
由已知得|OP|＝|OA|cs eq \f(π,3)＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝|OP|＝2.
经检验，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))在曲线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2上.
所以，l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cs θ＝4cs θ，即ρ＝4cs θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋eq \r(3)y＝5eq \r(3)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；
(2)射线OP：θ＝eq \f(π,6)(ρ≥0)与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长.
解 (1)在x＋eq \r(3)y＝5eq \r(3)中，
令x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
得ρcs θ＋eq \r(3)ρsin θ＝5eq \r(3)，
化简得2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝5eq \r(3)，
即为直线l的极坐标方程.
由ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ，
又ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，
所以x2＋y2＝4y，
即x2＋(y－2)2＝4，
即为圆C的直角坐标方程.
(2)由题意知ρA＝4sin eq \f(π,6)＝2，
ρB＝eq \f(5\r(3),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,6))))＝5，
所以|AB|＝|ρA－ρB|＝3.
热点二 简单曲线的参数方程
1.直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数).
2.圆的参数方程
圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋rcs θ，,y＝y0＋rsin θ))(θ为参数).
3.圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ))(θ为参数).
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数).
4.(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；
(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍.
例2 (2019·聊城模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，倾斜角为α的直线l经过点P(0，eq \r(2)).
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|PM|＋|PN|的最大值.
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)消去θ得eq \f(x2,4)＋y2＝1，
所以曲线C的普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，
直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝\r(2)＋tsin α))(t为参数).
(2)将直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝\r(2)＋tsin α))(t为参数)
代入到eq \f(x2,4)＋y2＝1中并整理得，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs2α,4)＋sin2α))t2＋2eq \r(2)tsin α＋1＝0，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－eq \f(2\r(2)sin α,\f(cs2α,4)＋sin2α)，t1t2＝eq \f(1,\f(cs2α,4)＋sin2α)>0，
∴t1，t2同号，
∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|
＝eq \f(2\r(2)sin α,\f(cs2α,4)＋sin2α)＝eq \f(2\r(2),\f(1,4sin α)＋\f(3sin α,4))
≤eq \f(2\r(2),2\r(\f(1,4sin α)·\f(3sin α,4)))＝eq \f(4\r(6),3)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当sin α＝\f(\r(3),3)时取等号))，
∴|PM|＋|PN|的最大值为eq \f(4\r(6),3).
跟踪演练2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,2)时，l与⊙O交于两点.
当α≠eq \f(π,2)时，记tan α＝k，
则l的方程为y＝kx－eq \r(2).
l与⊙O交于两点当且仅当eq \f(|\r(2)|,\r(1＋k2))