高中数学高考第1讲　平面向量的概念及线性运算

第1讲　平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1.已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－.其中结果为零向量的个数为(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

解析　由题知结果为零向量的是①④，故选B.

答案　B

2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)

A.a与λa的方向相反   B.a与λ2a的方向相同

C.|－λa|≥|a|   D.|－λa|≥|λ|·a

解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.

答案　B

3.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)

A.0   B.

C.    D.

解析　由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝.

答案　D

4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.

答案　D

5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)

A.   B.2   C.3   D.4

解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D.

答案　D

6.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)

A.b＋c   B.c－b

C.b－c    D.b＋c

解析　∵＝2，∴－＝＝2＝2(－)，

∴3＝2＋，∴＝＋＝b＋c.

答案　A

7.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)

A.－2   B.－1   C.1   D.2

解析　∵＝a＋b，＝a－2b，

∴＝＋＝2a－b.

又∵A，B，D三点共线，∴，共线.

设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，

∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.

答案　B

8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)

A.a－b  　　　  B.a－b

C.a＋b  　　　　 D.a＋b

解析　连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，

所以＝＋＝b＋a.

答案　D

二、填空题

9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有________个.

解析　根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个.

答案　3

10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.

解析　因为ABCD为平行四边形，所以＋＝＝2，已知＋＝λ，故λ＝2.

答案　2

11.向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线.其中所有正确结论的序号为________.

解析　由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.

答案　④

12.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.

解析　由已知条件得＋＝－，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.

延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，

∴＝＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.

答案　3

13.(2017·延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为(　　)

A.－    B.－

C.－    D.不存在

解析　由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.

又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，

所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)

＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

所以解得k＝－.

答案　A

14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)

A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上

解析　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.

答案　B

15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心

解析　作∠BAC的平分线AD.∵＝＋λ，

∴＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，

∴＝·，∴∥.

∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.

答案　B

16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________.

解析　＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|.

故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.

答案　直角三角形