高中数学高考第02讲 常用逻辑用语（讲）解析版

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第02讲   常用逻辑用语【学科素养】数学抽象、逻辑推理【课标解读】1．会用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理．2．体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性．【备考策略】1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．4.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。5.理解全称量词和存在量词的意义。6.能正确地对含一个量词的命题进行否定。【核心知识】1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p4．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真5.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 6．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，┐p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，┐p(x)【特别提醒】1.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．【高频考点】高频考点一   充分条件与必要条件的判定例1.(2020·天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A　【解析】因为a2>a⇔a＜0或a>1，所以a>1⇒a2>a，反之不成立．故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．【规律方法】充要条件的判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【举一反三】（2020·北京卷）已知，则“存在使得”是“”的（    ）．A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存使得”是“”的充要条件.【变式探究】【2019·北京卷】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（   ）A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】|＋|＞||⇔|＋|＞|－|⇔2＋2＋2·＞2＋2－2·⇔·＞0，由点A，B，C不共线，得〈，〉∈，故·＞0⇔，的夹角为锐角．故选C.高频考点二  充分条件、必要条件的应用例2.(2021·河南洛阳模拟)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．【答案】[0,3]　【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．因为x∈P是x∈S的必要条件，所以S⊆P.所以解得0≤m≤3.故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件． 【方法技巧】根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.【变式探究】(2021·山东实验中学模拟)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的必要条件，知S⊆P.则所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．【答案】[0，3]高频考点三　全称量词命题、存在量词命题的否定例3．(2021·山东淄博市高三模拟)命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(　　)A．∃x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∃x(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1D．∀x(0，＋∞)，ln x＝x－1【答案】C　【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．【方法技巧】(1)全称命题与特称命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；②否定结论：对原命题的结论进行否定．(2)全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真【特别提醒】因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．【变式探究】(2021·广东广雅中学模拟)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为　(　　)A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数【答案】D．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．高频考点四   全称量词命题、存在量词命题的真假判断例4．（2020·新课标Ⅱ）设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________.①②③④【答案】①③④【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，所以，，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题.综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题.故答案为：①③④.【举一反三】(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q　②﹁p∨q　③p∧﹁q　④﹁p∧﹁q这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)A．①③　　　　　　　　 B．①②C．②③  D．③④【答案】A.【解析】方法一：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A.方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A.【规律方法】1.“p∨q”、“p∧q”、“┐p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“┐p”形式命题的真假.2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相反”.【变式探究】(2021·湖南岳阳模拟)下列四个命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，2x－1＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，sin x＋cos x＝2【答案】D　【解析】A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．故选D．高频考点五    全称量词命题、存在量词命题的应用例5.(2021河北衡水调研)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)【答案】C　【解析】当原命题为真命题时，a>0且Δ＝16－4a<0，所以a>4.故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.【规律方法】1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【变式探究】(2021·湖南长沙质检)已知函数f (x)＝2ax－a＋3.若∃x0∈(－1,1)，使得f (x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)【答案】A　【解析】依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.故选A．【举一反三】(2021·安徽合肥模拟)若命题“∀x∈，1＋tan x≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________．【解析】根据题意得不等式1＋tan x≤m，∀x∈恒成立，因为y＝1＋tan x在x∈上为增函数，所以(1＋tan x)max＝1＋tan ＝1＋，则有m≥1＋，即实数m的取值范围是[1＋，＋∞)．【答案】[1＋，＋∞)