高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题3 解答题突破练1 三角函数与解三角形(1)

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1.(2019·首都师范大学附属中学模拟)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4))).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)已知x1，x2是函数y＝f(x)－eq \f(1,2)的两个零点，求|x1－x2|的最小值.
解 (1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4)))
＝sin eq \f(5π,6)cs 2x－cs eq \f(5π,6)sin 2x－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋π－\f(π,4)))
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x－cs 2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
则函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.
(2)方法一 ∵x1，x2是函数y＝f(x)－eq \f(1,2)的两个零点，
∴由y＝f(x)－eq \f(1,2)＝0，得f(x)＝eq \f(1,2)，
则由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，得2x1－eq \f(π,6)＝2k1π＋eq \f(π,6)，①
2x2－eq \f(π,6)＝2k2π＋eq \f(5π,6)，②
则②－①得2(x2－x1)＝2(k2－k1)π＋eq \f(2π,3).
即(x2－x1)＝(k2－k1)π＋eq \f(π,3)，
则|x1－x2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k2－k1π＋\f(π,3)))，k1，k2∈Z，
则当k1＝k2时，|x1－x2|取得最小值，最小值为eq \f(π,3).
方法二 在同一平面直角坐标系内作出y＝f(x)和y＝eq \f(1,2)的图象如图所示.
由题意知，x1，x2即为y＝f(x)图象和y＝eq \f(1,2)图象两个交点的横坐标，
结合f(x)的图象及周期性，
易知当|x1－x2|最小时，x1，x2在同一个半周期内，
可设x1＝eq \f(π,6)，x2＝eq \f(π,2)，
∴|x1－x2|最小值为eq \f(π,3).
2.(2019·聊城模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3BD，cs∠BAD＝eq \f(2\r(2),3).
(1)求cs∠ABD；
(2)若AD＝4eq \r(2)，CD＝3，求BC.
解 (1)设BD＝x，则AB＝3x，
∵cs∠BAD＝eq \f(2\r(2),3)，
在△ABD中，由余弦定理可得
cs∠BAD＝eq \f(AB2＋AD2－BD2,2×AB×AD)，
即eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(9x2＋AD2－x2,2×3x×AD)，
解得AD＝2eq \r(2)x.
由余弦定理可得，
cs∠ABD＝eq \f(AB2＋BD2－AD2,2AB·BD)＝eq \f(9x2＋x2－8x2,2×3x×x)＝eq \f(1,3).
(2)∵AD＝4eq \r(2)＝2eq \r(2)x，
∴x＝2.
∵cs∠CDB＝cs∠ABD＝eq \f(1,3)，CD＝3，BD＝2，
在△BCD中，由余弦定理可得，
BC2＝BD2＋DC2－2DB·DC·cs ∠BDC
＝4＋9－2×2×3×eq \f(1,3)＝9.
∴BC＝3.
3.已知在△ABC中，AC＝3，C＝120°，cs A＝eq \r(3)sin B.
(1)求边BC的长；
(2)设D为AB边上一点，且△BCD的面积为eq \f(15\r(3),8)，求sin∠BDC.
解 (1)由cs A＝eq \r(3)sin B及C＝120°，
得cs(60°－B)＝eq \r(3)sin B，
展开得eq \f(1,2)cs B＋eq \f(\r(3),2)sin B－eq \r(3)sin B＝0，
即cs(B＋60°)＝0，
又0°