高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题3 解答题突破练2 数　列(1)

(二)数　列1.(2019·蚌埠质检)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1.(1)设bn＝an＋n，证明：数列{bn}是等比数列；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.(1)证明　数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1.由bn＝an＋n，那么bn＋1＝an＋1＋n＋1，∴＝＝＝2；即公比q＝2，b1＝a1＋1＝2，∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列.(2)解　由(1)可得bn＝2n，∴an＋n＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－n，∴数列{an}的前n项和为Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(21＋22＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝2n＋1－2－－.2.已知数列{an}，a1＝1，a2＝3，且满足an＋2－an＝4(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前100项和T100.解　(1)①当n为奇数时，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1＝×4＋a1＝2n－1.②当n为偶数时，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2＝×4＋a2＝2n－1.综上，an＝2n－1(n∈N*).(2)∵bn＝(－1)nan＝(－1)n·(2n－1)，∴T100＝b1＋b2＋…＋b100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2＋2＋2＋…＋2＝2×＝100.3.(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}是递增数列，数列{bn}满足bn＝，Tn是数列{anbn}的前n项和，求Tn，并求使Tn>1 000成立的n的最小值.解　(1)设等差数列{an}的公差为d.∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1＋d＝3，①∵a1，a3，a7成等比数列，∴a＝a1a7，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，②由①，②得或当时，an＝3，当时，an＝n＋1.(2)∵数列{an}是递增数列，∴d≠0，∴an＝n＋1，∴bn＝2n＋1，从而anbn＝(n＋1)·2n＋1，Tn＝2·22＋3·23＋4·24 ＋…＋(n＋1)·2n＋1，①∴2Tn＝2·23＋3·24＋4·25 ＋…＋(n＋1)·2n＋2，②①－②得，－Tn＝8＋23＋24 ＋…＋2n＋1－(n＋1)·2n＋2＝ 8＋－(n＋1)·2n＋2 ＝－n·2n＋2，∴Tn＝n·2n＋2.易知数列{Tn}是递增数列，又T5＝640，T6＝1 536，∴使Tn>1 000成立的n的最小值为6.4.设数列{an}的前n项和为Sn，若an－＝1(n∈N*).(1)求出数列{an}的通项公式；(2)已知bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn∈.(1)解　在an－＝1中，令n＝1可得a1＝2，因为an－＝1，所以an＋1－＝1，两式相减可得(an＋1－an)－＝0⇒an＋1＝2an，即＝2.所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.(2)证明　bn＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－，所以{Tn}是一个单调递增的数列，当n＝1时，(Tn)min＝T1＝1－＝，当n→＋∞时，Tn→1，所以Tn∈.5.数列{an}中，a1＝2，(n＋1)(an＋1－an)＝2(an＋n＋1).(1)求a2，a3的值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝n＋1，an＝n2＋1，an＝n2＋n中的一个，设数列的前n项和为Sn，{an＋1－an}的前n项和为Tn，若>360，求n的取值范围.解　(1)∵(n＋1)(an＋1－an)＝2(an＋n＋1)，∴an＋1＝an＋2，∴a2＝a1＋2＝6，a3＝a2＋2＝12.(2)由数列{an}的通项公式是an＝n＋1，an＝n2＋1，an＝n2＋n中的一个，和a2＝6得数列{an}的通项公式是an＝n2＋n＝n(n＋1).由an＝n(n＋1)可得＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，∴Sn＝1－＝，∵(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an＋1－an)＝an＋1－a1，an＝n(n＋1)，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an＋1－an)＝n2＋3n，即Tn＝n2＋3n.由>360，得n2＋4n－357>0，解得n>17或n<－21，∵n是正整数，∴所求n的取值范围为n>17，且n是正整数.