高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题4 [70分] 解答题标准练1(1)

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1.(2019·广州模拟)已知{an}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和.
解 (1)数列{an}是等差数列，设公差为d，
且lg a1＝0，lg a4＝1.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,a1＋3d＝10，))
解得d＝3，
所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，
则aeq \\al(2,k)＝a1·a6，
根据等差数列的通项公式得到ak＝3k－2，
代入上式解得k＝2；a1，a2，a6是等比数列{bn}的前3项，a1＝1，a2＝4，
所以等比数列{bn}的公比为q＝4.
由等比数列的通项公式得到bn＝4n－1.
则an＋bn＝3n－2＋4n－1，
故Sn＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n－2＋4n－1)
＝eq \f(n3n－1,2)＋eq \f(4n－1,4－1)
＝eq \f(3,2)n2－eq \f(1,2)n＋eq \f(1,3)(4n－1).
2.(2019·马鞍山质检)如图，半圆柱O′O中，平面ABB′A′过上、下底面的圆心O′，O，点C，D分别在半圆弧AB，A′B′上，且
(1)求证：CD∥平面ABB′A′；
(2)若2AC＝AB＝AA′，求二面角C－AD－B的余弦值.
(1)证明 如图，取的中点M，
∵OO′⊥平面ABC，
∴OA，OM，OO′两两垂直，
以O为坐标原点，OA，OM，OO′所在直线分别为x，y，z轴，建立空间
直角坐标系O－xyz，连接OC，
设OA＝1，AA′＝t，∠AOC＝θ(00，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＋y2＝eq \f(－8tm,4t2＋9)，y1y2＝eq \f(4m2－36,4t2＋9).
∴|AB|＝eq \r(1＋t2)|y1－y2|
＝eq \r(1＋t2)·eq \r(y1＋y22－4y1y2)
＝eq \r(1＋t2)·eq \f(12\r(5),4t2＋9)＝eq \f(12\r(5),4\r(1＋t2)＋\f(5,\r(1＋t2)))≤eq \f(12\r(5),4\r(5))＝3，
当且仅当4eq \r(1＋t2)＝eq \f(5,\r(1＋t2))，
即t2＝eq \f(1,4)时等号成立.
此时|m|＝eq \r(5)，|AB|max＝3，
又∵S△AOB＝eq \f(1,2)×2×|AB|＝|AB|≤3，
∴当|m|＝eq \r(5)，|t|＝eq \f(1,2)时，△AOB的面积最大，最大值为3.
4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟)，其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x分钟).
(1)写出m，n的值，请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长，以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；
(2)该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X，以上述统计数据为参考，求X的分布列和期望；
(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？

附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d).
解 (1)m＝4，n＝2，
该读书协会中人均每周的课外阅读时长为
45×eq \f(2,20)＋75×eq \f(10,20)＋105×eq \f(4,20)＋135×eq \f(2,20)＋165×eq \f(2,20)＝93(分钟)，
由样本估计总体，一周阅读时长不少于90分钟的人数为
1 200×eq \f(4＋2＋2,20)＝480.
(2)X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,2)))，
由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4,5.
且P(X＝0)＝Ceq \\al(0,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(1,32)，P(X＝1)＝Ceq \\al(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(5,32)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(10,32)＝eq \f(5,16)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(10,32)＝eq \f(5,16)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(5,32)，P(X＝5)＝Ceq \\al(5,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(1,32)，
所以X的分布列如下：
E(X)＝5×eq \f(1,2)＝2.5.
(3)2×2列联表如下：
k＝eq \f(203×8－1×82,4×16×11×9)≈0.8080)，则g′(x)＝eq \f(x－1,x2)，
当x∈(0,1)时，g′(x)0，g(x)单调递增，
g(x)min＝g(1)＝1>0，
∴f′(x)>0.故f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
无单调递减区间.
(2)f′(x)＝ln x＋eq \f(1,x)＋1－a＝g(x)＋1－a，
由(1)可知g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
则g(x)≥g(1)＝1，
即f′(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝2－a，
①当a≤2时，f′(x)≥0，
f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(1)＝0满足条件；
②当a>2时，设h(x)＝ln x＋eq \f(1,x)＋1－a(x≥1)，
则h′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2)＝eq \f(x－1,x2)≥0(x≥1)，
∴h(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
且h(1)＝2－a0，
∴∃x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0，
∴当x∈[1，x0)时，h(x)1时，f(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)>0，
即eq \f(1,2)ln x>eq \f(x－1,x＋1)，
当0eq \f(\f(1,x)－1,\f(1,x)＋1)⇔eq \f(ln x,2)