高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题4 [70分] 解答题标准练3(1)

这是一份高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题4 [70分] 解答题标准练3(1)，共7页。试卷主要包含了05＋80×0，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
[70分] 解答题标准练(三)1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝sin Acos C，a＝2.(1)求A；(2)求△ABC的面积的最大值.解　(1)因为cos A＝sin Acos C，所以bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B，所以＝1，由正弦定理得＝＝，所以＝＝1，sin A＝cos A，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得，b2＋c2＝bc＋4，因为b2＋c2≥2bc.所以bc＋4≥2bc，解得bc≤2(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤×2(2＋)＝＋1.所以△ABC面积的最大值为＋1.2.(2019·汕尾质检)某公司销售部随机抽取了1 000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图.该公司给出了两种日薪方案.方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元.(1)分别求出两种日薪方案中日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式；(2)若将频率视为概率，回答下列问题：①根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X(单位：元)的期望及方差；②如果你要应聘该公司的销售员，结合①中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由.解　(1)方案1：日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式为y＝20n，n∈N；方案2：日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式为y＝(2)①根据柱状图知，日销售量满足如下表格：日销量(件)34567概率0.050.20.250.40.1 所以方案1的日薪X1的分布列为X16080100120140P0.050.20.250.40.1 期望E(X1)＝60×0.05＋80×0.2＋100×0.25＋120×0.4＋140×0.1＝106，方差D(X1)＝0.05×(60－106)2＋0.2×(80－106)2＋0.25×(100－106)2＋0.4×(120－106)2＋0.1×(140－106)2＝444；方案2的日薪X2的分布列为X290110130P0.50.40.1 期望E(X2)＝90×0.5＋110×0.4＋130×0.1＝102，方差D(X2)＝0.5×(90－102)2＋0.4×(110－102)2＋0.1×(130－102)2＝176.②答案1：由①的计算结果可知，E(X1)＞E(X2)，但两者相差不大，又D(X1)＞D(X2)，则方案2的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案2.答案2：由①的计算结果可知，E(X1)＞E(X2)，方案1的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案1.(注意：根据日薪波动性大小应选择方案2，根据日薪工资期望大小应选择方案1，两种答案同样给分)3.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥DA，DC∥AB，AB＝2DC＝4，PA＝PD＝DA＝2，平面PAD⊥平面ABCD.(1)证明：平面PCB⊥平面ABP；(2)求二面角D－PC－B的余弦值.(1)证明　如图，设E，F分别为AP，PB的中点，过C向AB引垂线，垂足为Q，连接CF，DE，EF，得EF∥AB，EF＝AB，故EF∥DC, EF＝DC，∴四边形DEFC为平行四边形，∴CF∥DE，又PA＝PD＝DA，∴DE⊥AP，∴CF⊥AP，由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴PC2＝DC2＋DP2＝8，又CQ⊥AB，∴CQ∥AD，CQ＝AD，∴BC2＝QC2＋QB2＝8，∴PC＝BC，又F为PB的中点，∴CF⊥PB，又AP∩PB＝P，AP，PB⊂平面ABP，∴CF⊥平面ABP，又CF⊂平面PCB，∴平面PCB⊥平面ABP.(2)解　如图，过P作AD的垂线，垂足为O，由(1)知O为AD的中点，故PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，故PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，在平面ABCD内过点O作AD的垂线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则D(－1,0,0)，C(－1,2,0)，B(1,4,0)，P(0,0，)，＝(1，－2，)，＝(2,2,0)，＝(0，－2,0)，设平面PCB的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，得n＝(1，－1，－)，设平面PDC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取z1＝1，得m＝(－，0,1)，∴cos〈n，m〉＝＝－，由图可知，二面角D－PC－B为钝角，∴二面角D－PC－B的余弦值为－.4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的任意一点，且|PF1|·|PF2|的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线－＝1的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的方程；(2)设点P，过点P作两条直线l1，l2与圆(x＋1)2＋y2＝r2相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值.(1)解　设椭圆的焦距为2c，由题意知|PF1|·|PF2|≤2＝a2＝4，所以a＝2.由双曲线－＝1的离心率为＝2，可知椭圆C的离心率为，即＝，解得c＝1，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明　点P在椭圆C上，显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于直线与圆(x＋1)2＋y2＝r2相切，可知k1＝－k2，直线l1：y－＝k1(x＋1)，联立方程组可得(3＋4k)x2＋8k1x＋42－12＝0，所以x1－1＝－，x1＝，所以x2＝， x1－x2＝，又x1＋x2＝，y1－y2＝k1(x1＋x2)＋2k1＝k1＋2k1＝，可知直线MN的斜率为k＝＝＝－，故所求的直线MN的斜率为定值－.5.已知函数f(x)＝a(x－1)2－的图象在x＝0处的切线的斜率为－2a－1.(1)当a≥－时，讨论函数f(x)的极值点；(2)设h(x)＝[a(x－1)2－f(x)]·－x2ln x－2x，试问：函数h(x)是否有零点？若有，求出零点的个数；若没有，请说明理由.解　(1)由题意得f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x－1)，则f′(0)＝－(2a＋b)＝－2a－1，解得b＝1，所以f′(x)＝(x－1).当a≥0时，2a＋>0，令f′(x)<0，解得x<1，所以f(x)在区间(－∞，1)内单调递减；令f′(x)>0，解得x>1，所以f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增.所以函数f(x)的极小值点为x＝1，无极大值点.当－<a<0时，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln，ln>1.则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减.所以函数f(x)的极小值点为x＝1，极大值点为x＝ln.当a＝－时，易知f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在R上单调递减，所以f(x)无极值点.综上，当a≥0时，f(x)的极小值点为x＝1，无极大值点；当－<a<0时，f(x)的极小值点为x＝1，极大值点为x＝ln；当a＝－时，f(x)无极值点.(2)由题意得h(x)＝ex－x2ln x－2x，x∈(0，＋∞)，则函数h(x)的零点个数等于函数g(x)＝－－ln x的零点个数.易得g′(x)＝，令φ(x)＝ex－x(x>0)，则φ′(x)＝ex－1，当x>0时，φ′(x)>0，所以φ(x)在区间(0，＋∞)内单调递增，所以φ(x)>φ(0)＝1恒成立，即ex－x>0对∀x∈(0，＋∞)恒成立.则当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以g(x)≥g(2)＝(e2－4－4ln 2)>(e2－4－ln e3)＝(e2－7)>0，所以函数g(x)无零点，所以函数h(x)无零点.6.(2019·汕尾质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和C2的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程为θ＝，直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A，B两点，求|AB|的值.解　(1)曲线C1的参数方程为(t为参数)，转换为普通方程为y2＝8x，转换为极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.曲线C2的参数方程为(α为参数)，转换为普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，转换为极坐标方程为ρ－2cos θ－2sin θ＝0.(2)设A，B，所以ρ1＝＝，ρ2＝2cos ＋2sin ＝1＋，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝－.7.(2019·汕尾质检)已知f(x)＝|2x＋2|＋|x－1|的最小值为t.(1)求t的值；(2)若实数a，b满足2a2＋2b2＝t，求＋的最小值.解　(1)f(x)＝|2x＋2|＋|x－1|＝故当x＝－1时，函数f(x)有最小值2，所以t＝2.(2)由(1)可知2a2＋2b2＝2，故a2＋1＋b2＋2＝4，所以＋＝·＝≥1，当且仅当a2＋1＝b2＋2＝2，即a2＝1，b2＝0时等号成立，故＋的最小值为1.