2023雅安高二上学期期末考试数学（理）含答案

雅安市2022-2023学年上期期末检测高中二年级

数学试题（理科）

（本试卷满分150分，答题时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后，将答题卡收回.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.总体由编号01，02，...，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ）

第1行78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  69  97  28  01  98

第2行32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81

A.27 B.26 C.25 D.19

2.抛物线的焦点坐标为（    ）

A. B. C. D.

3.若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

4.若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A.1 B. C.2 D.

5.已知，满足约束条件则的最小值为（    ）

A.1 B. C. D.

6.如图是我国2011-2021年国内生产总值（GDP）（单位：亿元）及其年增长率（%）的统计图，则下列结论错误的是（    ）

A.2011-2021年国内生产总值逐年递增

B.2021年比2020年国内生产总值及其年增长率均有增加

C.2014-2017年国内生产总值年增长率的方差大于2018-2021年的方差

D.2011-2021年国内生产总值年增长率的平均值小于7.0%

7.根据如下样本数据，得到回归直线方程为，则（    ）

A.， B.， C.， D.，

8.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（    ）

A.6 B. C.4 D.3

9.直线与圆交于，，则的最小值为（    ）

A. B. C.1 D.2

10.椭圆与双曲线有相同的焦点，，且离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

11.过点的直线与坐标轴的正半轴相交于，两点，当三角形的面积最小时直线与圆相切，则实数的值为（    ）

A.或4 B.1或6 C.0或5 D.2或7

12.如图所示，、是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别相交于，两点.若，则双曲线的离心率为（    ）

A.2 B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的，的比值________.

14.双曲线的焦点到渐近线的距离等于________.

15.已知椭圆：的离心率为，直线与椭圆相交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则直线的斜率为________.

16.设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在中，已知点，，.

（1）求边上的中线的方程.

（2）若某一直线过点，且轴截距是轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程.

18.（12分）内蒙古自治区成立70周年某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周。为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了600名年龄在且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数和众数；

（2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的居民中抽取6人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取2人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有1人的年龄在的概率.

19.（12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表.

（1）若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额对销售额的回归直线方程（参考公式，）

（2）若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少？

20.（12分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，.

（1）求圆的方程；

（2）若直线：，点为直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，当四边形面积最小时，求直线的方程.

21.（12分）已知抛物线：与直线：交于，两点，且线段的中点为.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于点，，是否存在定点，使得以弦为直径的圆恒过点.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点.

（i）求的值；

（ii）求面积的最大值.

雅安市2022-2023学年上期期末检测高中二年级

数学试题（理科）参考答案

一、选择题

1.D  2.D  3.A  4.A  5.C  6.C  7.B  8.B  9.D  10.D  11.C  12.B

二、填空题

13.  14.3  15.  16.

三、解答题

17.（1）中点，即，故边上中线的方程为，即；

（2）直线过点且轴于截距是轴截距的2倍，

i.若直线过原点，则直线方程为，即；

ii.若直线不过原点，设轴上截距为，则直线方程为，代为点解得，故直线方程为，即；

故该直线的一般式方程为或.

18.（1）年龄在的频率为，故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为：.

众数为.

（2）由分层抽样得被抽取的6人中，有4人年龄在，分别记为，，，，有2人年龄在，分别记为，.则“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为

，，，，，，，，，，，，，，，

共15种，其中事件“至少有1人的年龄在”包含的基本事件为

，，，，，，，，，共9种，

故该事件发生的概率.

19.（1）由表中的数据可得，，

，，

∵回归直线方程恒过样本中心，∴，

故利润额对销售额的回归直线方程为.

（2）∵该公司计划再一个店想达到预期利润为8百万，即0.8千万，

∴，解得，故预计销售额需要达到8百万.

20.（1）由题意可得：，中点坐标为，则直线的垂直平分线方程为，与直线联立可得两直线的交点坐标为，即所求圆的圆心坐标为，圆的半径，圆的方程为：.

（2）∵

∴当最小时四边形面积最小

又得：

当时，最小

由题易得直线方程是：

联立与直线方程可得

故以为直径的圆为：

即

又易知，在以为直径的圆上，

则直线是以为直径的圆与圆的公共弦

联立两圆方程易得直线：

21.（1）将代入，得；

∴，可得，所以抛物线的方程为.

（2）设直线：，，.联立，整理得，所以，.

假设存在以为直径的圆恒过，

则恒成立，

化简得，

令，可得，故以弦为直径的圆恒过.

22.解：（1）由题意知，则，又，可得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知椭圆的方程为，

（i）设，，由题意知

因为，又，即，所以，即.

（ii）设，，由，可得

由，可得①则，

所以，因为直线与轴交点的坐标为

所以的面积为：

令，将代入椭圆的方程可得：

由，可得②，由①②可知

因此，由，在上单调递增，

当，即时，由（i）知，面积为，

所以面积的最大值为.