北师大版高中数学必修第二册1-8三角函数的简单应用学案

1．8　三角函数的简单应用

知识点　三角函数模型的简单应用

(1)建立数学模型解决实际问题的一般步骤

(2)三角函数的应用：

①根据实际问题的图象求出函数解析式．

②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．

③利用搜集的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．

研习1  　函数解析式与图象的对应问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[典例1]　函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是(　　)

[自主记]

[答案]　C

[解析]　由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中，图象表示的函数为奇函数；B中，图象表示的函数为偶函数；C中，图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．

[巧归纳]　解决函数图象与解析式对应问题的策略

(1)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．

(2)利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.

[练习1]　函数f(x)＝cos x·|tan x|在区间上的大致图象为(　　)

答案：C

研习2  知模型求解析式

[典例2]　电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝时，电流强度是(　　)

A．－5安   B．5安 

C．5安   D．10安

[自主记]

[分析]　先结合函数图象确定出函数解析式，再代入t＝求值即可．

[答案]　B

[解析]　由图象可知A＝10，T＝2×＝，∴＝，∴ω＝100π，∴I＝10sin.

当t＝时，I＝10sin＝5(安)．

[巧归纳]　在研究实际问题时，关键是将图形语言转化为符号语言，体现了数形结合的思想．依据图象判断函数的类型，用适当的形式设出其解析式，是解决这类问题的关键，利用待定系数法及数形结合的思想、方程的思想求出函数的解析式，同时注意结合实际问题的意义，注明函数的定义域．

[练习2]　如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.

(1)求这一天最大的温差；

(2)求这段曲线的函数解析式．

解：(1)由图象，得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．

(2)由(1)得解得A＝5，b＝－7.

由图象，得函数的周期T＝2(14－6)＝16，

则＝16，解得ω＝.

所以y＝5sin－7.

由图象，知点(10，－7)在函数的图象上，

则－7＝5sin－7，

整理得sin＝0，又|φ|<，则φ＝－.

则这段曲线的函数解析式是

y＝5sin－7(6≤x≤14).

研习3  数据拟合题型

[典例3]　某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：

经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象．

(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港口，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港口所需的时间)．

[自主记]

[分析]　(1)观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据作出散点图，从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωt＋φ)＋h的函数来拟合．由已知数据可以具体确定A，ω，φ，h的值．

(2)根据(1)中所求的函数解析式，求出数值不小于5＋6.5＝11.5(米)的时段，从而就可回答题中的问题．

[解]　(1)由已知数据，描出曲线如图：

易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，

∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10.

(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，

由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，

∴sint≥.①

∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π.②

由①②得≤t≤或≤t≤，化简得1≤t≤5或13≤t≤17，

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．

[巧归纳]　由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈现周期性变化，才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作答．

[练习3]　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．

(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；

(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．

解：(1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝＝.

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.

又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，

∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为.

∴y＝cost＋1.

(2)由题意，当y>1时才对冲浪者开放，

∴cost＋1>1，即cost>0，

∴2kπ－<t<2kπ＋，即12k－3<t<12k＋3.

∵0≤t≤24，

∴令k分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，

∴在规定时间上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9时至下午15时.

研习4  三角函数模型的实际应用

[典例4]　据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元．该商品每件售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.

(1)分别写出每件该商品的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；

(2)哪几个月能盈利？

[自主记]

[分析]　(1)根据题目给出条件结合三角函数的相关性质可求出解析式；(2)代入数值进行验证，可得g(x)>f(x)时x的每个取值．

[解]　(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B．由题意可得A＋B＝8，－A＋B＝4，T＝8，

∴A＝2，B＝6，ω＝.

∵当x＝3时，f(x)取得最大值8，

即2sin＋6＝8，∴φ＝2kπ－，k∈Z.

不防令φ＝－，所以f(x)＝2sin＋6(1≤x≤12，x为正整数)，

g(x)＝f(x－2)＋2＝2sin＋8(1≤x≤12，x为正整数)．

(2)将x＝1,2，…，12代入f(x)，g(x)求出数值比较知，当x＝4,5,6,7,8,12时，g(x)>f(x)，故4,5,6,7,8,12月能赢利．

[巧归纳]　建立三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题；最后将所得结果翻译成实际答案，要注意根据实际作答．

[练习4]　如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.试求A，ω的值和M，P两点间的距离．

解：∵函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)图象的最高点为S(3,2)，∴A＝2.

由图象，得＝3，∴T＝12.

又T＝，∴ω＝，即y＝2sinx.

当x＝4时，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．

又P(8,0)，∴|MP|＝＝5，

即MP的长是5.

1．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发，在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)

答案：C　

解析：如图，过O作OD⊥AP于D，由题意，知

∠AOD＝，OA＝1，AD＝，

∴sin＝，即d＝2sin.结合图象知选C．

2．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐

标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)

A．[0,1]   B．[1,7]

C．[7,12]   D．[0,1]和[7,12]

答案：D　

解析：由已知可得该函数的周期为T＝12，ω＝＝，又当t＝0时，A，

∴y＝sin，t∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．

3．一根长为l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝(　　)

A．   B．

C．   D．

答案：D　

解析：因为周期T＝，所以＝＝2π，得l＝.

[误区警示]　由三角函数模型处理物理问题失误

[示例]　弹簧振子以点O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C两点相距20 cm，某时刻振子处在点B，经0.5秒振子首先到达点C．求：

(1)振动的振幅、周期和频率；

(2)振子在5秒内通过的路程及这时相对平衡位置的位移的大小．

[错解]　(1)因为B，C相距20 cm，

所以振幅A＝20 cm.

因为振子从点B经0.5秒首次达到点C，

所以周期T＝0.5 s，频率f＝＝2 Hz.

(2)5 s内的路程＝位移＝5 A＝5×20＝100(cm)．

[错因分析]　实际问题中，变量常常有一定的范围，因此，在转化为数学模型后要注意标出自变量的取值范围．

[正解]　(1)设振幅为A，则2A＝20 cm，A＝10 cm.

设周期为T，则＝0.5 s，T＝1 s，f＝1 Hz.

(2)振子在1个周期内通过的距离为4A，故在t＝5 s内，距离为s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)＝2(m)．

5秒末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10 cm.

[题后总结]　在解决实际问题时，要明确一些量的含义，避免出错．本例中，(1)振子以O为平衡位置，在B，C间做简谐运动，B，C相距20 cm，说明振子离开平衡位置的最大值点和最小值点相距20 cm，即2A＝20(cm)．

(2)振子从点B经0.5 s首次达到点C，再返回点B才是一个周期，因此，应有＝0.5 s.

(3)“路程”与“位移”有区别，“路程”只有数字的大小，“位移”不仅有大小，还有方向．例如，振子在一个周期内的路程为2×20(cm)＝40(cm)，在一个周期内的位移相对于初始点来说是0.