高中1.2 向量的基本关系学案设计

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第二章　平面向量及其应用2．1　从位移、速度、力到向量2.1.1　位移、速度、力与向量的概念 2.1.2　向量的基本关系新课程标准学业水平要求1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．2．理解平面向量的几何表示和基本要素.1.能从教材实例中抽象出向量的概念．(数学抽象)2．能通过教材实例理解向量的模、零向量、单位向量等相关概念．(数学抽象)3．借助图形理解相等向量、共线向量、相反向量，能在图形中识别出相关的向量(数学抽象、直观想象)4．借助图形理解向量的夹角、会画图表示，能在图形中识别向量的夹角．(数学抽象、直观想象) 课前篇·自主学习预案1．向量的概念(1)既有大小又有方向的量统称为向量．(2)具有方向和长度的线段叫作有向线段．向量可以用有向线段表示，若有向线段的起点为A，终点为B，则该有向线段记作________，也可以用黑体小写字母a，b，c，…表示，手写则用，，，…表示．(3)向量(或a)的大小，称为向量(或a)的长度，也叫模，记作________．2．与向量有关的概念零向量长度为0的向量称为零向量，记作0.任何方向都可以作为零向量的方向． 单位向量模等于1个单位长度的向量称为单位向量． 相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b. 续表共线(平行)向量若两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量．a与b共线或平行，记作a∥b.零向量与任一向量共线． 相反向量若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．向量a的相反向量记作－a.3.向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB称为向量a与b的夹角；(2)范围：0°≤θ≤180°；(3)大小与向量共线、垂直的关系：θ＝答案：1.(2)　(3)||(或|a|) 课堂篇·研习讨论导案 研习1  向量的概念[典例1]　(1)下列各量中是向量的是(　　)A．时间 B．加速度C．面积 D．长度(2)给出下列说法①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等；⑤由于0方向不确定，故0不能与任一向量平行．其中正确的是________．(填序号)[自主记]答案：(1)B　(2)②③④[巧归纳]　1.判断一个量是否为向量的两个关键条件关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小；(2)有方向．两个条件缺一不可．2．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．[练习1]　给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与向量相等．以上命题中，正确命题的序号是(　　)A．① B．②  C．①③ D．②③答案：A研习2  向量的表示[典例2]　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝，说出c的终点的轨迹是什么？并作出轨迹．[自主记][分析]　(1)结合向量相等的定义，在已知起点的情况下，只需根据长度和方向便可确定向量b的终点；(2)根据勾股定理，先找到一个以C为端点且长为的线段即可．[解]　(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，如图．[巧归纳]　向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．提醒：有向线段是向量的表示，不能说向量就是有向线段．[练习2]　一辆汽车从点A出发向西行驶了100 km到达点B，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达点D.(1)作出向量，，；(2)求||.解：(1)向量，，，如图所示．(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形．∴＝.||＝||＝200 km.研习3  相等向量与共线向量[典例3]　如图所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.[自主记][分析]　证明两向量相等，需证明它们的长度相等且方向相同．[证明]　因为＝，所以||＝||且AB∥DC.所以四边形ABCD是平行四边形，所以||＝||，且DA∥CB.又因为与的方向相同，所以＝.同理可证：四边形CNAM是平行四边形，所以＝.因为||＝||，||＝||，所以||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同，所以＝.[巧归纳]　1.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．2．利用向量相等或共线判断平行、相等问题时的常用结论：(1)若A，B，C，D四点不共线，且∥，则AB∥CD；(2)若∥，则三点A，B，C共线；(3)若A，B，C，D四点不共线，且＝，则AB∥CD且AB＝CD；(4)若A，B，C三点共线，＝，则AB＝BC(即B是线段AC的中点)．[练习3]　以边长为2的正方形A1B1C1D1的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a，b，c，d，e，f，g，h.(1)试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量；(2)试找出已知向量中分别与，，，共线的向量．解：(1)作出图形如图，由已知，得|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝1，|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝，而在正方形ABCD中，||＝||＝||＝||＝1，||＝||＝，又已知两正方形对应边平行，所以＝＝a，＝＝c，＝＝e，＝＝g，＝b，＝f，＝d，＝h.(2)已知两正方形对应边平行，则对应对角线也平行，所以与共线的向量有a，e；与共线的向量有c，g；与共线的向量有b，f；与共线的向量有d，h.研习4  向量的夹角[典例4]　如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量与向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．[自主记][分析]　平移向量，使它们的起点相同，再根据向量夹角的定义及几何图形的性质进行求解．[解]　(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，如图，延长AB至点D，使AB＝BD，∴∠DBC为向量与的夹角．∵∠DBC＝120°，∴向量与的夹角为120°.(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴与的夹角为90°.[巧归纳]　1.明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．2．求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．[练习4]　若两向量a，b为非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为(　　)A．60° B．30°C．45° D．90°答案：B　解析： 由向量运算的几何意义知，a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线．如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角为30°.故选B.达标篇·课堂速测演习1．有下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有(　　)A．1个   B．2个C．3个   D．4个答案：D　解析：①⑥⑦⑧都不是向量．2．若a为任一非零向量，b为单位向量，则下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b.其中正确的是(　　)A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤答案：B　解析：|a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；a与b不一定平行，故②不正确；是a方向上的单位向量，不一定平行于b，故⑤不正确．3．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________．答案：　解析：由三角形内角平分线的性质，得||∶||＝||∶||，故||＝.4．七巧板，也称“七巧图”“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具．现在的七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，如图所示，试写出图中与，模长相等的向量．解：与长度相等的向量有：，，，，，，，，，，，，，，；与长度相等的向量有：，，，，，，，，. [误区警示一]　对向量有关概念理解不清致误[示例]　给出下列四个命题①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有(　　)A.0个 B．1个  C．2个 D．3个[错解]　D[错因分析]　对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c.[正解]　A(根据以上分析可得正确结论)．[方法总结]　1.正确区别0与0解题时，牢记向量是既有大小又有方向的量，如本例由|a|＝0可知a＝0，并不表示a＝0，之所以出现这个错误，是对零向量的概念理解不清．2.正确理解向量的模解题时，注意向量模相等与实数相等的区别，如本例，模相等只能说明它们的长度相等，但并不意味着它们的方向有关系．3.正确理解向量平行解题时，两向量平行或共线，也就是两个向量的方向相同或相反，但它们的模的关系并不能确定，如本例，若不能正确理解两向量平行的意义，将会出现判断失误．4.正确理解零向量解决有关向量的平行或共线问题时要注意审清限制条件，我们规定零向量与任意向量平行或共线，如本例，若忽略了b＝0，则会出现判断失误.[误区警示二]　向量夹角的概念理解不清致误[示例2]　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，则与的夹角θ＝________.[错解]　由题意可知∠ACB即为两向量的夹角，所以θ＝30°.[错因分析]　当两不共线向量求夹角时，一定要留意两向量是否从同一点出发，否则会造成误判．[答案]　150°[正解]　如图所示，延长AC至点D，使AC＝CD，则＝，此时∠BCD为与的夹角，故为150°.[方法总结]　求两个向量的夹角时，应把这两个向量平移到起点重合的位置，若不便于平移，就需要作辅助线．两向量的夹角的范围是[0°，180°]，当两向量同向共线时，其夹角为0°；当两个向量反向共线时，其夹角为180°.